En este Simposio, que celebramos con motivo del centenario del nacimiento de Rey Pastor y en su ciudad natal, es forzoso que hable de algo relacionado con él mismo o con su obra. Rey Pastor, además de matemático, fue también historiador de la ciencia y de la técnica españolas, de la Matemática y en particular de las matemáticas en España (l) [1]. En este último campo sobresale su discurso inaugural del curso 1913-14 en la Universidad de Oviedo sobre Los matemáticos españoles del siglo XVI. En 1926 el mismo Rey Pastor decidió publicarlo nuevamente "considerablemente ampliado, sin emprender la reforma del estilo sobrado juvenil, pero omitiendo alguna frase que pudiera parecer estridente y suprimiendo la parte ocasional, alusiva al acto en el que fue leído" (2)  [2] . Mi contribución estará en la línea de investigación iniciada por este trabajo de Rey Pastor y prolongará su estudio hasta incluir el siglo XVII.

Rey Pastor en este trabajo de 1926, después del estudio crítico de las matemáticas del siglo XVI, en unas quince últimas páginas (3)  [3] da una visión rápida de "la decadencia" de las matemáticas en España, que el autor extiende a los siglos XVII y XVIII e incluso hasta finales del XIX. Estas páginas escritas dejando a un lado el método crítico empleado a lo largo del discurso, simplifican demasiado la historia y merecen ser matizadas (4)  [4] . El mismo Rey Pastor, que escribió textos valiosísimos como Ciencia y Técnica en el descubrimiento de América y la Cartografía Mallorquina, habla de estos siglos "decadentes" en otro tono, como puede apreciarse, para citar sólo un botón de muestra, en su discurso "Menéndez y Pelayo y la ciencia española" pronunciado en 1956 con ocasión del homenaje de la Universidad de Madrid al famoso santanderino.

Pero es cierta la afirmación de Rey Pastor acerca del hecho de una profunda decadencia que se inicia precisamente a finales del siglo XVI, como esperamos poner de manifiesto a continuación.

En este trabajo desearía llegar a establecer un juicio o valoración de las matemáticas en España durante el siglo XVII, o por lo menos llegar a formular una primera aproximación a una valoración de este hecho cultural. Naturalmente una valoración de este tipo supone un término de comparación, y me parece que como tal debe o puede tomarse el estado y la evaluación de las matemáticas en Europa, especialmente Italia, Alemania, Francia e Inglaterra, durante los siglos XVI y XVII. Pero además, parece que se necesita también, dentro del marco general de la cultura, de un contexto, gracias al cual sea posible formular juicios que cobren un sentido cultural más amplio y conduzcan a un resultado razonado y coherente.

En consecuencia, dividiré este trabajo en dos secciones. En la primera daré una visión, evidentemente muy esquemática de las corrientes y nuevas líneas de progreso en el desarrollo de las matemáticas europeas en los siglos XVI y XVII, o sea una visión del desarrollo interno de las Matemáticas en este período. Ello nos dará una idea, aunque necesariamente vaga, del término de comparación para emitir una valoración de las matemáticas del XVII en España. Además, también en esta primera sección, intentaré dar una idea, necesariamente incompleta, del contexto español del desarrollo de las matemáticas en la península ; algo así como las condiciones externas de la evaluación de las matemáticas en la España de los Austrias y en particular del siglo XVII.

En la segunda sección me ocuparé del conjunto de los matemáticos españoles del siglo XVII. Haré, en particular unas observaciones sobre algunos de los matemáticos españoles jesuitas de este mismo período.

Los condicionamientos históricos

Se trata de mencionar los factores que hayan influido en el desarrollo histórico de las matemáticas en la España de los Austrias, y en particular en el siglo XVII. De acuerdo con lo dicho en la introducción consideraremos en primer lugar los condicionamientos internos, o sea los que emergen de la misma dinámica del desarrollo matemático. Luego se considerarán algunos factores o condicionamientos externos, que se derivan de la situación cultural española.

1.1. Me voy a limitar a mencionar las matemáticas europeas más importantes, para luego explicitar cuáles eran las corrientes y líneas de investigación que se abrían a los investigadores matemáticos.

La Europa de los siglos XV y XVI está bajo el movimiento renacentista, cuyo origen suele colocarse al principio del siglo XV o bien hacia la mitad de este siglo en conexión con la caída de Constantinopla (1453). Pero, para la historia de las Matemáticas tiene lugar un claro resurgimiento, al margen de los pueblos árabes, aunque dependiendo de ellos, ya en los albores del siglo XIII con el Liber abaci (1202) de Fibonacci. Claramente renacentistas son el Cardenal Nicolás de Cusa (1401-1464) que quiso cuadrar el círculo, Regiomontanus (1436-1476), sin duda uno de los más importantes matemáticos del siglo, Nicolás Chuquet (muere ca. 1500) con su Le Triparty en la science des nombres (1484), que puede considerarse como la primera Algebra renacentista, aunque pronto superada por la primera Algebra impresa, a saber la Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et porportionalita (1494) de Fray Luca Pacioli (1445-1514). Un año decisivo que cierra una época y abre nuevas perspectivas es 1545 con la publicación de Ars Magna de Gerónimo Cardano (1501-1576). Fibonacci, Pacioli y Cardano son italianos, como también lo es posteriormente Rafael Bombelli (ca. 1526-1573), cuya Algebra (ca. 1560) se imprime en 1572 ; estos matemáticos, especialmente algebristas, se benefician sin duda de la tradición árabe, conocida en Italia, aunque quizás no tan viva como en España. También en Alemania hay un notable renacimiento en el XVI, cuya figura más representativa es Michael Stifel (ca. 1487-1567) con su Arithmetica integra (1544).

Sea con el Ars Magna (1545) o sea con el inicio del siglo XVII, empieza un nuevo período de la Historia de las matemáticas, extraordinariamente fecundo y de múltiples y espectaculares contribuciones, y cuyo resultado más profundo y de alcances imprevisibles, y que de alguna manera los corona casi todos, es la creación del Análisis infinitesimal. Suele designarse este período como de creación y desarrollo de las Matemáticas modernas.

Entre los que harán posible la consecución de este resultado, que por sí solo determina y caracteriza una época, mencionemos François Viète (1540-1603) con sus numerosas obras, en particular el Canon mathematicus (157l) y el famoso In artem analyticam isagoge (1591), Johann Kepler (1571-1630) con Nova stereometria doliorum vinariorum (1615), Bonaventura Cavalieri (1598-1647) con Geometria indivisibilibus continuorum (1629), Fermat (1601-1665), Descartes (1596-1650) y los creadores del Cálculo.

Citemos también a John Neper (Napier) (1550-1617) y Simon Stevin (1548-1620) y finalmente a los que completaron las grandes traducciones de los clásicos griegos Francesco Maurolico (1494-1575) y Federigo Commandino (1509-1575).

Los nombres de matemáticos y de sus obras que tan parcamente acabamos de señalar nos permite pasar a una sucinta enumeración de los principales temas y de las líneas de progreso en el desarrollo de las matemáticas de los siglos XVI y XVII en Europa.

Durante el siglo XV y prolongándose todo el XVI encontramos continuos progresos en el desarrollo de la Aritmética. Están en la tradición de los calculadores de Oxford y París y de las aportaciones de los árabes y consisten en progresos en la representación posicional numérica, desarrollo de las operaciones fundamentales incluyendo la extracción de raíces cuadradas y cúbicas, resolución de problemas cada vez más complejos, en particular mediante la regla de falsa posición. Especial interés tiene la confrontación entre abacistas y algoristas a lo largo de varios siglos hasta la universal admisión de los métodos algorítmicos de cálculo gracias al ingeniero Stevin. Es también importante la introducción y progreso de la notación en la aritmética y en el álgebra, que se hace sincopado en Viète y plenamente simbólica en Descartes.

La Geometría tiene un primer renacimiento, después de las primeras traducciones de los Elementos por Adelardo de Bath (1142) y Gerardo de Cremona (1114-1187), y es nuevamente cultivada. Cobran especial importancia los problemas de geometría, y más aún los de álgebra, que pueden llamarse todos de álgebra geométrico. Un precursor de tales problemas es Oresme. La importancia del Ars Magna radica no sólo en que son resueltas en él las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y en que aparecen separadas una teoría matemática de unas aplicaciones de la misma, sino también en la simbiosis algebraico-geométrica, en la tradición de los Elementos, pero que lleva ya necesariamente a una independencia del álgebra en Viète, y más adelante a una subordinación de la geometría al álgebra y al análisis. Algo análogo constatamos en el Algebra de Bombelli, en el que al revés que en los Elementos encontramos importantes aplicaciones del álgebra a la resolución de problemas geométricos. A partir de finales del siglo XVI y en virtud de la disponibilidad de buenas traducciones de la mayor parte de las obras clásicas griegas florecen los comentarios a los Elementos de Euclides, a las Cónicas de Apolonio y obras de Arquímedes. Varios matemáticos se ocuparon de la reconstrucción de textos perdidos de Apolonio, pero de los que se conservan importantes referencias en las Collectiones (siglo IV) de Pappus. Así Viète resolvió el bello problema de hallar el círculo tangente a otros tres dados, Descartes crea la geometría analítica al resolver otro problema de Apolonio formulado por Pappus, Fermat se ocupa también en la reconstrucción de problemas, y también Zaragoza escribe la Geometria magna in minimis motivado por otro problema de Apolonio formulado por Pappus. La Trigonometría tanto plana como esférica alcanza un alto grado de sistematización ; y aumenta grandemente su aplicabilidad gracias a la creación y rápida difusión de la teoría de logaritmos y de tablas de los mismos.

El progreso del Álgebra es sin duda el más espectacular y de más largo alcance. Viète introduce el uso de parámetros para los coeficientes de las ecuaciones algebraicas, y así el álgebra pasa de ser "numerosa" a ser "espaciosa". Se plantean nuevos problemas, como cuadraturas y cubaturas, o sea en general cálculo de áreas y volúmenes, determinación de centros de gravedad y los que resuelve Cavalieri con sus "indivisibles". Emerge la geometría analítica por obra de Fermat y Descartes. Mediante métodos sintéticos o analíticos se tratan los problemas de hallar tangentes, máximos o mínimos, inacciones, curvaturas y en general el estudio de curvas incluso trascendentes o mecánicas, lo que lleva ya directamente a la creación del Cálculo. El segundo tercio del siglo XVII es eminentemente un período geométrico. Los problemas son propiamente matemáticos y no hay, como no sea hacia la Óptica, una preocupación física. Esta se dará inmediatamente con las grandes figuras del último tercio del siglo.

1.2. En el apartado precedente hemos visto a grandes rasgos los temas o contenidos matemáticos de lo que ha venido a llamarse la revolución científica por antonomasia. En la sección 2. siguiente, deseo contribuir al esclarecimiento de cuál ha sido la aportación o recepción de España en este desarrollo extraordinario de las matemáticas. Me limitaré especialmente al siglo XVII, pues es sin duda el más importante y porque el siglo XVI ya ha sido en parte analizado, desde el área de las matemáticas, por Rey Pastor.

Antes de entrar con algún detalle en las contribuciones de los matemáticos españoles del XVII, o sea de los primeros matemáticos "modernos" en España, me parece conveniente decir algo del contexto social en cuanto pueda ser un estímulo o un obstáculo para tales contribuciones matemáticas.

No trataremos aquí de la "polémica de la ciencia española", aunque su núcleo fundamental sea la actividad científica española de los siglos XVI y XVII (5)  [5] .

López Piñero se ha ocupado varias veces de la relación, en ese período, entre sociedad y ciencia, tanto de la ciencia en general como sobre todo de la Medicina (6)  [6] . Hace un buen análisis de las dos tendencias existentes en España frente al hecho de la revolución científica, la conservadora y la moderna. Señala que en España se acusa una particular vigencia de la primera, que tiene su origen en la influencia de la nobleza en general, de instituciones civiles como las universidades, y del estamento eclesiástico. Por el contrario el poder real y numerosos municipios importantes son modernos en cuanto urgen un espíritu renacentista y la necesidad de asimilar los nuevos avances científicos.

La resistencia de los filósofos y teólogos, en su casi totalidad clérigos, a las nuevas ideas se comprende en cuanto que, como grupo social, tendían a mantener las ciencias subordinadas a la filosofía y ésta a la teología. Otra razón está en el movimiento contrarreformista, que lleva consigo un apoyo a la escolástica, en un momento además en el que en España goza de brillantez (por ejemplo Francisco Suárez muere en 1617). No creo que la Inquisición condenara ninguna obra matemática, pero ello no excluye una posible influencia indirecta y negativa de la Inquisición en el desarrollo de las matemáticas, en virtud de la conexión de éstas con la Física. La condenación de Galileo en 1633 repercutió directamente en el desarrollo de la astronomía, la cual en el Colegio Imperial formaba parte de una cátedra de matemáticas. Tampoco faltaron sacerdotes filósofos o teólogos que estuvieran abiertos a las ideas renacentistas y modernas como el dominico Domingo de Soto (1494-1570) y los jesuitas Rodríguez de Arriaga (m. en Praga 1667) y Benito Perera (1535-1610), etc., y otros científicos jesuitas que mencionaremos más adelante.

Desde el punto de vista de la renovación científica en general, en la que la medicina juega un papel relevante, el siglo XVII puede dividirse en tres períodos (7)  [7] . De 1600 a 1630, periodo que se desarrolla sin solución de continuidad como continuación dél siglo XVI. De 1630 a 1670, en el que se aceptan ya algunas de las nuevas contribuciones modernas, pero con carácter aislado y fragmentario y sin que se ponga seria y duraderamente en cuestión la visión escolástica de la Física. El tercer período, que comprende el tercer tercio o último cuarto de siglo se toma clara conciencia del desfase de la ciencia española y se inicia un proceso de asimilación de las ciencias, que augura el futuro movimiento de la ilustración. En este contexto resaltan los novatores, decididos partidarios de la ruptura con los esquemas científicos y filosóficos tradicionales. Por su clara conciencia del atraso español y la denuncia del mismo recibieron el entonces más bien despectivo nombre de novatores.

Ya desde el siglo XV, pero sobre todo en la primera mitad del siglo XVI se multiplican en Italia las cátedras de Matemáticas. En España éstas se imparten con carácter secundario en la Facultad de Artes y a menudo formando parte de la cátedra de Física (Filosofía Natural). Durante el siglo XVI las grandes universidades de Salamanca, Alcalá, Valladolid cuentan con notables profesores de matemáticas y muestran una apertura renacentista. Desgraciadamente, ya desde fines del siglo XVI y sobre todo desde comienzos del XVII caen en una total postración y rehúsan abrirse y participar en la revolución científica que invade casi toda Europa. También en la Casa de Contratación de Sevilla las enseñanzas de matemáticas (¡e incluso las de Astronomía y Náutica !) prácticamente desaparecen a lo largo de la primera mitad del siglo XVII (8)  [8] .

Otra institución de enseñanza técnica, cuyo nombre quizás llevó a engaño al mismo Rey Pastor, fue la Academia de Matemáticas (9)  [9] . La fundó Felipe II y las lecciones públicas se iniciaron en Octubre de 1583. El primer director fue Juan de Herrera, y aunque se impartía enseñanza de matemáticas, por ejemplo Labaña, Firrufino, Ondériz y otros enseñaron obras de Euclides y la Sphera (10)  [10] , la Institución iba dirigida a formar técnicos : arquitectos, cosmógrafos, cartógrafos, ingenieros militares, etc. Parece que pasados unos cuarenta o cincuenta años la Academia "fue languideciendo en sus actividades, siendo desplazada y absorbida por los Reales Estudios del Colegio Imperial" (11)  [11] .

Sin duda la Institución más importante para el desarrollo de las matemáticas en España durante el siglo XVII es el Colegio Imperial. Los jesuitas fundaron casa en Madrid el 1560, la cual hacia el 1572 se convertía en Colegio, que pronto fue extraordinariamente frecuentado. En 1603 moría en Madrid la Emperatriz María de Austria, hija de Carlos V y nacida en Madrid, y dejaba gran parte de su fortuna al Colegio de los jesuitas. Se convertía así en la fundadora del un nuevo Colegio con nuevo edificio e Iglesia y que debía llamarse Colegio Imperial. Finalmente en 1625 el rey Felipe IV funda los Reales Estudios, con los que dota al Colegio Imperial, no sin oposición de la Universidad de Salamanca (l2)  [12] , de 16 cátedras de estudios mayores. Aquí nos interesa resaltar la creación de las dos cátedras de matemáticas, la novena : "De matemática donde un maestro por la mañana leerá la esfera, astrología, astronomía, astrolabio, perspectiva y pronósticos". Y la décima : "De matemática donde otro maestro diferente leerá por la tarde la geometría, geografía, hidrografía y de relojes" (13)  [13] .

Hubo otras instituciones que estuvieron atentas y abiertas al desarrollo científico europeo. En primer lugar la Universidad de Valencia, en la que había enseñanza de matemáticas. También se enseñaban matemáticas en los siguientes Colegios de la Compañía de Jesús de los que yo tengo noticia, a saber en el Real Colegio de Santa María i Sant Jaume (Cordelles) de Barcelona (1593), en el de Nobles de Calatayud, en el de Bilbao, y en el de Cádiz a partir de 1698, año en el que el rey Carlos II funda a perpetuidad una cátedra de matemáticas para la formación de marinos. Parece que esta cátedra fue inaugurada por Jacobo Kresa, que vino expresamente del Colegio Imperial. Parece que a Kresa le sucedió José Cañas también jesuita. En el Catálogo (14)  [14] de 1692 aparece Francisco Blanco como profesor de Matemáticas, Carlos Powel aparece en los de 1696 y 1699, y en el de 1705 no aparece ningún profesor ni ninguna referencia a la cátedra de matemáticas. Parece, con todo, que los Reales Estudios del Colegio Imperial, tanto por estar abiertos y atentos a los progresos de la revolución científica más allá de las fronteras, como por ser foco de cultivo de estudios e investigaciones matemáticas, como por la continuidad en la enseñanza de las matemáticas (l5)  [15] , fueron la institución más importante para el desarrollo de las matemáticas en España durante el siglo XVII.

Los matemáticos españoles del siglo XVII

2.1. Tornando como punto de partida el fundamental y esmerado Diccionario histórico de la ciencia moderna en España (DHCME) de López Piñero y otros, he analizado el conjunto de los que figuran como matemáticos en los siglos XVI y XVII. He contado cuarenta y dos, aunque este número es algo impreciso, pues de algunos puede dudarse si son o no propiamente matemáticos como contradistintos de astrónomos, geógrafos, cartógrafos, etc., e incluso de alguno cabe dudar si queda dentro o fuera de este período (l6).  [16]

Rey Pastor en su trabajo Los matemáticos españoles del siglo XVI estudia los aritméticos P. Sánchez Ciruelo, J. Martínez Silíceo, J. de Ortega y Alvaro Tomás ; los algebristas Marco Aurel, J. Pérez de la Moya, Antich Rocha y Pedro Núñez ; y los geómetras Juan Alfonso de Molina Cano y Jaime Falcó. De éstos en el DHCME están los tres primeros aritméticos y los tres primeros algebristas y faltan los otros cuatro. Faltan A. Tomás y P. Núñez probablemente porque son portugueses y no consta que tuvieran actividades matemáticas en España ; y faltan los dos geómetras porque el mismo juicio que hace Rey Pastor los descalifica como matemáticos.

También cita Rey Pastor a Gaspar Lax y Miguel Francés, quienes al igual que P. Sánchez Ciruelo y A. Tomás, fueron catedráticos de la Universidad de París. El primero figura en el DHCME, pero no el segundo. Al hablar de los geómetras y en relación con la creación de la Academia de Matemáticas menciona a Juan de Herrera, Juan Bautista Labaña y Pedro Ambrosio de Ondériz ; a los profesores de la Academia Juan Cedillo Díaz y Julio César Firrufino ; y al discípulo Luís Carduchi. Menciona finalmente Andrés García de Céspedes y Rodrigo de Zamorano profesores de la Casa de Contratación de Sevilla. Estos últimos ocho matemáticos citados figuran todos en el DHCME.

Recientemente, con motivo de la elaboración de un Diccionario Histórico de la Compañía de Jesús (DHSI) me he ocupado de los jesuitas matemáticos españoles de este período. De ellos me ocuparé más adelante, pero deseo mencionar los jesuitas del XVII : Carolus Powell (=Powillus) (n. en Staffordshire, Reino Unido, 1660 ; m. en Gante, Bélgica, 1738) que ocupa la cátedra real de Matemáticas del Colegio jesuítico de Cádiz (por lo menos durante los años 1696-1699), el suizo Juan Bautista Cysat (Suati) profesor del Colegio Imperial durante dos o tres años a partir de 1628, el italiano Eusebio Francisco Chino (=Kino) que pasó fugazmente por Cádiz (1680-168l) camino de México y José Cañas (m. en 1735) que fue también profesor real (¿sucesor de Kresa ?) en Cádiz, (quizás algunos fueron propiamente astrónomos y no matemáticos), ninguno de los cuales figura en el DHCME (17)  [17] .

2.2. A continuación cito por orden alfabético algunos de los más significativos de los matemáticos de los siglos XVI y XVII reseñados en el DHCME, considerando especialmente los del siglo XVII :

Juan ALCEGA (fl. 1580, guipuzcoano), que escribió un libro de geometría para sastres.

Marco AUREL (fl. Valencia, 1552) de origen alemán. En su libro primero de arithmetica algebratica... (1552) introduce en España el Arte mayor o Regla de la cosa. Ha sido estudiado por Rey Pastor.

Juan CARAMUEL LOBKOWITZ (n. en Madrid, 1606 ; m. en Milán, Italia 1682). Su obra matemática ha sido bien estudiada por Garma (18)  [18] . Es uno de los matemáticos españoles más importantes del siglo. La calidad de su obra matemática se resiente de su enorme extensión ; lo que ya le notaron algunos de sus contemporáneos, a veces no sin ironía, como Zaragoza a propósito de la simple e ingeniosa construcción o pseudodemostración (que Caramuel presenta como demostración) de la trisección del ángulo (l9)  [19] . Sus aportaciones más importantes son la primera sistematización de los sistemas de numeración, la Kybeia o Cálculo de probabilidades y su valiosa e importante labor de asimilación e introducción en España de numerosos temas modernos. Su Combinatoria está tomada íntegramente de Sebastián Izquierdo, a quien cita varias veces.

José CHAFRION (n. Valencia, 1653 ; m. en Barcelona, 1698). En Valencia fue discípulo de Zaragoza, a quien rinde homenaje, y de Caramuel en Roma. Escribió Escuela de Palas o Curso mathematico y trabajó en la fortificas Montjuich.

Pedro SANCHEZ CIRUELO (n. en Daroca, Zaragoza, ca. 1470 ; Salamanca, 1548). Estudiado por Rey Pastor.

Baltasar IÑIGO (n. en Valencia, 1656 ; m. en Valencia, 1746). constancia de las reuniones o "congresos", que se celebraban (ca. 1686) en la casa de este "novator" valenciano, en un manuscrito de Juan Bautista Corach trataba de temas matemáticos en sentido amplio, incluyendo matemática "pura"

Sebastián IZQUIERDO (n. en Alcaraz, Albacete, 1601 ; m. en Roma, 1681). Entró jesuita en Madrid en 1623. La obra de Izquierdo se hace eco del avance de las ciencias y del ambiente ideológico que se vive en el Colegio Imperial.

Su publicación más importante es el Pharus scientiarum, (1659) que es una "Ciencia de la ciencia" y se inserta en la línea lulista de su época, que culmina con la pretensión de Leibniz de establecer un catálogo general de conceptos juntamente con una Characteristica universalis que redujeran cualquier argumentación a un cálculo. Como dice Fuertes, en el Pharus el Arte general del Saber, como método, se fundamenta en la Lógica.

Congruentemente, dentro del Pharus sobresale la Disputatio XXIX de Combinatione. Su importancia, más que en la universal aplicación que su autor pretende, consiste en las nuevas y originales contribuciones que aporta. Izquierdo trata de modo sistemático y adecuado las diversas clases de agregados de exponente q, o sea constando de q elementos, que pueden formarse con p objetos dados ; y asimismo calcula cuántos agregados pueden formarse de cada clase. Las características o diferencias que especifican las clases de agregados pueden ser penes diferencias substantiae, posilionis vel repetitionis, o sea segun la diversidad de elementos, el orden de su posición o su posible repetición. Así, por ejemplo, Izquierdo plantea y resuelve (Quaestio II, propositio 5) el problema hallar el número, sea K , de combinaciones con repetición de p elementos tomados de q en q, o sea el número de agregados de exponente q cuando se dispone de p elementos distintos, cada uno de los cuales puede repetirse indefinidamente (o sea hasta q veces). Los resultados que obtiene los expone en la Tabla IX, que coincide con el Triángulo aritmético. En términos modernos y llamando C el número de combinaciones ordinarias de p elementos tomados de q en q, el resultado de Izquierdo es que

K q Cq + q + 1 (p + q + p p (p + l) ! q

"En la obra matemática de Izquierdo se echa de menos el uso de la notación algebraica y una mayor explicitación del principio de inducción completa ; pero es clara, rigurosa y algunas veces profunda. Tuvo notable repercusión tanto en España como en Europa" (20)  [20] .

Jacobo KRESA (n. en Smirschitz, Austria, 1645 ; m. en Brunn, Austria, 1715). También jesuita. Probablemente fue profesor y amigo de Omerique.

Jean Charles de LA FAILLE (n. en Amberes, Bélgica, 1597 ; m. en Barcelona, 1652). Llega al Colegio Imperial el discípulo de Gregorie de Saint Vincent en 1629 y con merecida fama. Su maestro cuida de que se imprima en Amberes su obra más importante : Ioannis Della Faille antverpiensis e Societate Iesu, in Acacemia Madritensi Collegii Imperialis regii matheseos professoris, theoremata de centro gravitatis partium circulis et ellipsis. Antverpiae. Ex offícina Typographiae loannis Meursii. Anno MDCXXXII. Saint Vincent quiere que la obra salga antes que la que está preparando su correligionario Paul Guldin sobre el mismo tema genérico de centros de gravedad. Este pequeño opúsculo en cuarto de 53 páginas, admirado ya por Christiaan Huygens, es una de las contribuciones matemáticas concretas más importantes y probablemente la más conocida de un matemático activo en España durante el siglo XVII. El resultado más espectacular es el contenido en la Proposición 32 que da la distancia d del vértice de un sector circular a su centro de gravedad. Si R es el radio del círculo y A el ángulo del sector, La Faille demuestra que

d = (2/3) R (cuerda A / arco A)

donde arco A es la longitud del arco de circunferencia que limita el sector y cuerda A es la longitud de la cuerda subtendida por Arco A. (21)  [21] .

Gaspar LAX (n. en Sariñena, Huesca, 1487 ; m. en Zaragoza, 1560. Estudiado por Rey Pastor.

Juan MARTINEZ SILICEO (n. en Villagarcía, Badajoz, 1477, m. en Toledo, 1557.) Estudiado también por Rey Pastor.

Pedro Juan MONZO (n. en Valencia ; m. en Valencia, ca 1605). En Súmulas se separa de la Lógica terminista y la orienta hacia Aristóteles. Publica un tratado de matemáticas porque las considera necesarias para la Dialéctica y la Filosofía.

Elío Antonio de NEBRIJA (n. en Lebrija, Sevilla, 1444, m. en Alcalá, Madrid 1522). El interés de Nebrija por introducir los nuevos programas humanistas (no matemáticos en un sentido estricto, pero si en un sentido amplio) en lucha contra un "escolasticismo arabizado" no se impone en la enseñanza de las matemáticas que se impartía en las Facultades de Artes hasta mediados del siglo XVI.

Hugo de OMERIQUE (n. en San Lúcar de Barrameda, Cádiz, fl. 1698). La obra Analysis Geometrica de Omerique y la Geometría Magna in minimis de Zaragoza son con toda probabilidad la dos obras de matemáticas mas profundas, originales e interesantes de matemáticos españoles durante los siglos XVI y XVII (y quizás se puedan añadir los siglos XVIII y XIX). Es curioso que ninguno de los dos figure en el Dictionary of Scientific Biography de Gillispie, aunque esto sólo indique, quizás, cuán deficiente sea la situación de la historia de las matemáticas en España. La palabra "Analysis" del título de la obra de Omerique me parece que depende del título y método de la obra fundamental de Viéte "In artem analyticam isagoge", quien a su vez la prefiere a "álgebra” y la emplea en el mismo sentido que Proclo cuando habla del método analítico de Euclides como opuesto al apodictico (22)  [22] . P. Peñalver ha estudiado la obra de Omerique, pero se echa de menos un estudio más completo.

Juan de ORTEGA (n. en Palencia ; fl. 1515-1542). De este dominico se ocupa larga y profundamente Rey Pastor.

Juan PEREZ DE MOYA (n. en Santiesteban del Puerto, Jaén, ca. 1514 ; fl. 1554-1573). De él se ocupa también Rey Pastor. En su Arithmetica practica y especulativa (1562), que alcanzó tan extraordinario éxito, me parece que debe verse también, como en otros muchos textos comerciales análogos, una dedicación creativa, y no una mera ocupación de aplicar una teoría más alta ; me parece que tal separación entre matemáticas y sus aplicaciones no existia entonces, exceptuando quizás el Ars Magna (1545) en la que por primera vez se hallaría tal distinción.

Claudio RICHARD (RICARDO) (n. en Ornans, Borgoña, Francia aunque entonces era de Felipe II, 1589 ; m. en Madrid, 1664). "Entró en la Compañía de Jesús en Roma en 1606. Enseñó matemáticas siete años en Lyon ; cuando estaba ya para embarcarse en Lisboa destinado a las misiones de la China, Felipe IV le nombró (1624) profesor del Colegio Imperial de Madrid, donde desempeñó la cátedra de Matemáticas con singular aplauso desde el año 1636, o desde antes, hasta su muerte”.

"Publica dos voluminosas obras, cuya presentación habla por si sola. La primera sobre Los Trece Libros de los Elementos de Geometría de Euclides, es mucho más una mera traducción y exposición. Richard incluye también la obra de otros geómetras antiguos y modernos mostrando una erudición extraordinaria. En particular se refiere a menudo a la obra parecida de su correligionario Cristóbal Clavio (1537-1612), a quien cita con frecuencia. Richard, además enriquece apreciablemente su obra con innumerables aportaciones originales. Algo parecido puede decirse de la segunda obra : De las cónicas de Apolonio de Pérgamo. Quizás sea ésta, dice Sánchez Pérez, la mejor edición que se haya hecho de las Cónicas de Apolonio".

"Se comprende que la magnífica edición de estas dos obras le exigiese viajes a Flandes ; viajó también a Inglaterra y todavía viajó otras veces formando parte del séquito en campaña del marqués de Celada".

"La contribución de Ricardo es original y profunda. Así, por ejemplo, al tratar la proposición 16 del Libro primero de los Elementos, que afirma que un ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquiera de los dos interiores y opuestos, evita la hipótesis, que implícitamente supone Euclides, de que la recta sea la longitud infinita. Su demostración es por reducción al absurdo, pues si la proposición fuera falsa se tendría dos rectas que encerraría un área, es decir que tendrían dos puntos comunes sin ser coincidentes ; naturalmente, el autor no puede sospechar que tales dos puntos podrían interpretarse como coincidentes ; a pesar de que estén a (localmente) "distinto" lado de la misma recta". (23)  [23]

Antich ROCHA (n. en Gerona ; fl. 1564). De él se ocupa Rey Pastor.

Francesc SANCT CLIMENT (fl. en Barcelona, ca. 1482). Escribe en catalán la primera Aritmética impresa en la Península con el titulo Suma de la art de Arisimetica (Barcelona, 1482), y según G. Sarton es la segunda impresa en el mundo.

Hugh SEMPLE (Hugo SEWILL, SEMPILIO) (n. en Graigevar, Escocia, 1596 ; m. en Madrid, 1654). Jesuita, Apologista de las matemáticas desde su cátedra real en le Colegio Imperial.

Tomás Vicente TOSCA (n. en Valencia, 1651 ; m. en Valencia, 1723). Este filipense autor del Compendio mathematico (1707-1715) ocupa un importante lugar entre los "novatores". Víctor Navarro recalca cómo Tosca tiene especial cuidado por incorporar las aportaciones de los autores españoles, Izquierdo, Caramuel, Zaragoza y Omerique, para lograr afirmar una tradición científica propia. Desgraciadamente el Compendio nada dice de la geometría analítica creada por Descartes y Fermat ni tampoco del cálculo infinitesimal.

Pedro de ULLOA (n. en Madrid, 1663 ; m. en Madrid 1721). Jesuita. Profesor del Colegio Imperial publicó los Elementos Mathemáticos (1706), que es el primer texto publicado en España que da a conocer la geometría analítica de Descartes, si bien de modo breve.

Juan Bautista VILLALPANDO (n. en Córdoba, 1552 ; m. en Roma, 1608). En 1575 entra en la Compañía de Jesús. Reconoce como maestro a Juan de Herrera. Descubrió el teorema del polígono de sustentación. Es notable su decidida tendencia humanista que le lleva a un fuerte aprecio de la cultura clásica y a inspirarse en Vitruvio. (24)  [24]

José ZARAGOZA y VILANOVA (n. en Alcalá de Chivert, Castellón, 1627 ; m. en Madrid, 1679). Ingresó en la Compañía de Jesús en 1651, siendo ya Doctor en Filosofía por la Universidad de Valencia. "En 1652 es destinado al Colegio de Calatayud, de donde pasa sucesivamente a los de Mallorca, Barcelona, Valencia y finalmente en 1670 ocupa la cátedra de Matemáticas del Colegio Imperial, donde muere. En 1668 fue nombrado Calificador del Santo Oficio. En 1675 la Reina le nombra profesor de Matemáticas de su hijo el Rey Carlos II. Fue nombrado en 1667 miembro de la Real Junta de Minas y como tal desempeñó varias comisiones. Ya antes de entrar en la Compañía manifestó su vocación por las Matemáticas y Astronomía. Pagó tributo a la moda siendo profesor privado de nobles, en particular de D. Diego Felipez de Guzman marqués de Leganés, y formando incluso alguna vez parte de su séquito. El cultivo de las Matemáticas en España, desde mediados del siglo XVI, acusa un creciente retraso respecto a Europa occidental. A partir de su nombramiento como profesor del Colegio Imperial, la actividad de Zaragoza en Matemáticas es asombrosa" (25)  [25] .

Escribió varios libros, que no desmerecen de los mejores de sus contemporáneos ; y, aunque escritos principalmente con una intención didáctica no faltan en ellos observaciones originales e interesantes. Muestran además que conocía bien las obras de su tiempo, aunque con dos salvedades importantes. La primera es que parece desconocer la geometría analítica de Descartes (1636) aunque según Peñalver parece que Zaragoza conocía esta geometría, pero que deliberadamente quiso emplear exclusivamente el método sintético de la geometría clásica. La segunda es que es ajeno a los problemas directamente relacionados con el cálculo diferencial, pues aunque en la Geometría Magna halla varios mínimos, no lo hace según el método diferencia¡ de Fermat, u otro equivalente, sino siguiendo muy de cerca el método de los Elementos de Euclides en el libro VI (Proposiciones 28 y sgs.)

Desde el punto de vista de sus aportaciones originales al acervo de los conocimientos matemáticos, su obra más importante es la Geometría magna in minimis (Toledo, 1674). Recientemente Eduardo Recasens ha presentado un trabajo de investigación sobre la primera parte de esta obra y continúa su trabajo hasta completar el estudio de las tres partes de la obra (26)  [26] . El trabajo original de Zaragoza está inserto en las líneas de investigación entonces vigentes. Guarda conexión con los problemas de centros de gravedad, se adentra en la demostración de propiedades matemáticas (nada hay de dinámica) de los momentos de inercia, el teorema de Ceva, coordenadas baricéntricas y otros teoremas nada triviales, cuyo descubrimiento suele atribuirse actualmente a matemáticos posteriores. El método empleado es el riguroso "more geométrico" calcado de los Elementos de Euclides, aunque con algunas mejoras en la notación. Se trata de una genuina obra de investigación, voluminosa y bien centrada dentro del marco de la geometría contemporánea. Es una contribución profunda por la evolución conceptual que supone y por los resultados teóricos obtenidos. En este sentido me parece que se trata (aunque siempre resulta difícil comparar) de una aportación científica más meritoria que la realizada por el mismo autor en Astronomía. Ahora bien, es obvio que la contribución importante de Zaragoza a la astronomía ha sido bien conocida desde su mismo tiempo, mientras que su aportación matemática ha sido totalmente ignorada hasta el siglo actual, quizás precisamente por su mayor profundidad y consiguiente dificultad en ser comprendida.

Tanto Navarro como López Piñero (27)  [27] han puesto de relieve que Zaragoza debe ser contado entre los iniciadores del grupo de novatores valencianos del siglo XVII.

2.3. Una primera clasificación y análisis de los 42 matemáticos españoles de los siglos XVI y XVII biografiados en el DHCME, desde los puntos de vista de épocas y calidad de las contribuciones, parece que pone de manifiesto conclusiones que, aunque ya conocidas de un modo general, no por ello son menos importantes.

De los 42 hemos seleccionado 24 en la lista del apartado 2.2 precedente. Los 18 restantes son : Cedillo, Corachán, Cortés, Diez Freile, Durán, Espinosa, Esquível, Fernández de Medrano, Firrufino, Jaraba, Muñoz, Ondériz, Pérez de Mesa, Porter, Poza, Río-Riaño, M.G. de Santa Cruz y Zamorano. Excepto los cuatro que mencionamos a continuación, todos los demás pertenecen al siglo XVI. Corachán y Fernández de Medrano son del último cuarto de siglo XVII o del XVIII. En cuento a Firrufino y Porter, aunque publican en la primera mitad del siglo XVII, apenas son relevantes como matemáticos.

Entre los 24 que hemos seleccionado hay 13 que pertenecen al siglo XVI. Entre éstos están los seis estudiados por Rey Pastor con contribuciones notables pero que se inspiran en la línea bajomedievalista de los calculatores de Oxford y París y en la línea algorista procedente de la cultura árabe ; es decir, ignoran el, renacimiento italiano y alemán, así como las recientes traducciones de los clásicos griegos. Lo mismo puede decirse de los restantes, aunque hay tres excepciones : Monzó, Nebrija y Villalpando. De éstos, los dos primeros publican escritos pro renacentistas, pero que desde el punto de vista de las matemáticas parece que se quedan en meros deseos, pues ambos son apenas relevantes como matemáticos. En cuanto a Villalpando, constituye una notable excepción, aunque no del todo pues, si bien comienza sus estudios en España, parte en 1572 para Roma, donde muy probablemente frecuenta las lecciones que en el Colegio Romano imparte Clavius y donde escribe y publica su obra matemática.

Entre los mismos 24 seleccionados se encuentran también los siete siguientes : Chafrión, Iñigo, Kresa, Omerique, Tosca, Ulloa y Zaragoza. Todos ellos pertenecen al último tercio (casi incluso al último cuarto) del siglo XVII y muestran evidentemente un talante diferente : denuncian la carencia de ciencia en España, acuden a los clásicos griegos, conocen las contribuciones modernas. (aunque con retraso, incluso en temas muy importantes) y varios de ellos contribuyen apreciablemente al enriquecimiento de las matemáticas o introducción en España.

De los 24 repetidamente citados, quedan todavía los cuatro jesuitas que mencionamos a continuación. Izquierdo, que fue profesor en los colegios jesuíticos de Alcalá de Henares y de Murcia y que publicó el Pharus en 1659, y que en 1661 parte definitivamente para Roma. Los otros tres son extranjeros y vienen a España para ser profesores reales del Colegio Imperial. La Faille publica su principal obra en Amberes en 1632. Richard publica sus obras en 1645 y 1655 y muere en el Colegio Imperial en 1664. Finalmente Sempill, que publica sus dos obras matemáticas en 1635 y 1642 y muere en el Colegio Imperial en 1654.

Parece, pues, y no obstante que tres de estos cuatro últimos figuren entre los mejores matemáticos modernos activos en España, que se confirma la conclusión fundamental, ya enunciada por Rey Pastor, de que hay en España en los dos primeros tercios del siglo XVII una rápida decadencia y abandono casi total de las ciencias matemáticas ; y que es en el último tercio del mismo siglo XVII cuando surge un importante renacimiento.

Para terminar este trabajo deseo decir unas palabras sobre las causas de esta decadencia. Sin duda son numerosas, variadas y complejas. Quizás el lugar mas adecuado para estudiarlas seria la Historia de la sociología de la ciencia, pues influyeron razones políticas, religiosas, propiamente sociológicas, económicas y filosóficas. Mas bien a modo de sugerencia que de estudio he aqui algunas :

La emigración de buena parte de los judíos hispánicos. Primero alrededor de la expulsión decretada en 1492 y luego a lo largo del siglo XVI. López Piñero señala cómo, a consecuencia de estas emigraciones, surgieron centros científicos en el sur de Francia y en varias ciudades de Italia y Países Bajos (28)  [28].

La Inquisición, aunque no parece que obstaculizara directamente el estudio y crecimiento de las matemáticas, sí lo hizo de la física al condenar en 1633 el copernicanismo ; obviamente ello repercutió negativamente en el progreso de las matemáticas. Este factor, como recoge Rey Pastor (29)  [29] , se dio en igual o mayor grado en otros países en los que hubo un próspero desarrollo de las matemáticas.

La pragmática de Felipe II de 1559 prohibiendo que ningún natural de sus reinos vaya a estudiar fuera de ellos, y que los que estuvieren allí vuelvan antes de cuatro meses. Las razones que se aducen son la mermada asistencia a las aulas universitarias, el coste económico y que "con la comunicación de los extranjeros y de otras naciones [nuestros súbditos] se divierten y distraen y vienen a otros inconvenientes" (30)  [30] . López Piñero señala que el aislamiento en que se encontró España "no fue mera consecuencia de unas duras medidas represivas. Hay que entenderlo en un contexto más amplio..." (31)  [31] .

La creciente importancia en España de la contrarreforma, especialmente como consecuencia del Concilio de Trento, influyó negativamente y de múltiples modos en el desarrollo científico en general y de las matemáticas en particular. Surgió una mentalidad que más bien disuadió de la dedicación a la ciencia y en cambio contribuyó a un valioso y auténtico renacimiento neoescolástico. Consecuentemente repercutió como un freno a la asimilación y participación en la revolución científica. Reforzó la resistencia al ciego crecimiento del proceso de secularización, oscureciendo una más exacta comprensión de la naturaleza de la ciencia y de su autonomía. Estas consecuencias conectan con el "contexto más amplio" de que habla López Piñero y que contribuyeron al aislamiento de España respecto del desarrollo científico que en este tiempo tiene lugar en Europa. En este mismo contexto cabe incluir las seis causas señaladas por Feijoo en Causas del atraso que se padece en España en orden a las Ciencias Naturales (32)  [32] . Estas causas, aunque dadas a conocer en Cartas publicadas en 1745, eran también actuales en el siglo XVII, pues son causas de largo alcance y aún más larga duración.

El descubrimiento y colonización de América llevó consigo una importante emigración de españoles cualificados y una desviación de la dedicación a la ciencia hacia una dedicación más urgente a las artes como ingeniería, arquitectura, metalurgia, navegación, etc.

Las razones dadas hasta ahora tienen un carácter general en cuanto obstaculizaron el desarrollo de todas las ciencias naturales. He aquí dos ultimas razones que probablemente repercutieron negativa y específicamente en el desarrollo de las matemáticas. El mismo prestigio de la tradición matemática bajomedievalista con varios españoles ocupando cátedras de matemáticas en París y que luego enseñaron en España, juntamente con otros no menos insignes como Domingo de Soto, pudo contribuir a la polarización hacia una línea de estudio que en matemáticas resultó ser una vía muerta (aunque parece que fue muy eficaz y abierta en física), de la que no se podía o no se supo salir, y que por otro lado dificultó la apertura hacia las nuevas líneas de las matemáticas modernas que se abrían paso en Italia.

Asimismo, la acentuación de una dedicación a las artes en perjuicio de las ciencias en general, que se produjo como consecuencia del descubrimiento y colonización de América, tuvo probablemente su máxima repercusión negativa en el cultivo de los conocimientos matemáticos, por ser éstos los más alejados de una aplicabilidad inmediata. De hecho, las cátedras de matemáticas de la mayoría de las universidades españolas estuvieron vacantes durante largo tiempo en el siglo XVII y comienzos del siglo XVIII ; no parece que ello fuera porque las oposiciones fueran demasiado difíciles. Si no se acepta que los claustros universitarios preferían que tales cátedras quedasen vacantes a que fueran ocupadas, entonces cabe pensar que quizás es que no había matemáticos pudieran ser opositores.

BIBLIOGRAFIA

1 . ARAGON DE LA CRUZ, Francisco : Las ideas de "decadencia" y "regeneracionismo" en la obra histórica de Julio Rey Pastor. Arbor, 117 (1984), pp. 349-356. Ampliado también en ESPAÑOL, L. (ed.) (1985), 139-153.

2. BABINI, J., GONZALEZ DOMINGUEZ, A. y SANTALO, L.A. : Revista de la Unión Matemática Argentina y de la Asociación Física Argentina 21 (1962), pp. 1-56. Número Homenaje de la UMA a su fundador Julio Rey Pastor.

3. Baet 11, Baet 20. Véanse Catálogos y Cartas anuales respectivamente.

4. BALANZAT, Manuel. Vease RIOS - SANTALO - BALANZAT.

5. Cartas anuales de la Provincia Baetica, Baet 20 de la Compañía de Jesús en el Archivum Romanun Societatis Jesu.

6. DHCME = Diccionario histórico de la ciencia moderna en España. Véase LOPEZ PIÑERO - GLICK - NAVARRO - PORTELA.

7. DOU, Alberto, 1963, "Julio Rey Pastor". Razón y Fe 167 (1963) pp. 133-146 y 273-282

8. DOU, Alberto, 1988, Contribución de los jesuitas a las matemáticas, artículo para el Diccionario Histórico de la Compañía de Jesús del IHSI. De próxima aparición.

9. ESPAÑOL, Luis (ed.) Actas I Simposio sobre Julio Rey Pastor (Logroño, 1983), Instituto de Estudios Riojanos, Logroño, 1985.

10. FEIJOO, Benito Jerónimo, Cartas, t. II, 1745. También en Biblioteca de Autores Españoles, 56, pág. 540 ; y en Ernesto y Enrique GARCIA CAMARERO, pp. 25-43.

11. GARCIA CAMARERO, Ernesto. Véase REY PASTOR, 1988, pp. 449-459.

12. GARCIA CAMARERO, Ernesto y Enrique (Editores) : La polémica de la ciencia española, con introducción, selección y notas de los editores. Madrid, 1970.

13. GARMA PONS, Santiago, 1974, Las aportaciones de Juan Caramuel al nacimiento de la matemática moderna. Tesis doctoral, Universidad de Valencia, 1976.

14. GLICK, Thomas F. : Véase DHCME.

15. GONZALEZ DOMINGUEZ, A. : Véase BABINI - GONZALEZ DOMNGUEZ-SANTALO.

16. IRIARTE, Pensadores e historiadores. Casa de Austria 1500-1700. Madrid, 1960.

17. LOPEZ PIÑERO, José Mª, 1977 : Los estudios históricos sobre la actividad científica en la España de los siglos XVI y XVII. En Coloquio sobre Historia de la Ciencia Hispano-Americana, publicado por la Real Academia de Ciencias, Madrid, 1977.

18. LOPEZ PIÑERO, José Mª, 1979 : Ciencia y técnica en la sociedad española de los siglos XVI y XVII. Barcelona, 1979.

19. LOPEZ PIÑERO, José Mª, 1987 : La ciencia en la España de los siglos XVI y XVII. En Historia de España dirigida por Manuel TUÑON DE LARA, Tomo V : La frustración de un Imperio (1476-1714), pp. 355-423.

20. LOPEZ PIÑERO, José Mª ; GLICK, Thomas F. ; NAVARRO BROTONS, Víctor ; PORTELA MARCO, Eugenio : Diccionario histórico de la ciencia moderna en España, con la sigla DHCME. Dos volúmenes. Barcelona, 1983.

21. MILLAN GASCA, Ana : El matemático Julio Rey Pastor, Servicio de Publicaciones del Colegio Universitario de la Rioja, Logroño, 1988.

22. NAVARRO BROTONS, Víctor, 1983 a : Véase DHCME.

23. NAVARRO BROTONS, Víctor, 1983 b : El cultivo de la física en España en los siglos de la revolución científica (XVI-XVII). En Historia de la Física hasta el siglo XIX, publicado por la Real Academia de Ciencias, Madrid, 1983. pp. 311-325.

24. OBESO, J.M. : Papeletas bibliográficas. Revista matemática hispanoamericana 3 (1921) 50-57.

25. PORTELA MARCO, Eugenio. Véase DHCME.

26. RECASENS, Eduard : La " Geometria magna in minimis" de José Zaragoza : els inicis d’una geometría baricéntrica. Trebail de recerca per al grau de Mestratge, Universitat Autónoma de Barcelona. Bellaterra, 1988

27. REY PASTOR, Julio, 1913 : Los matemáticos españoles del siglo XVI. Discurso inaugural del curso 1913-14 en la Universidad de Oviedo. El mismo autor lo publica "considerablemente ampliado" y con algunas modificaciones, como Núm. 2 de la Biblioteca Scientia, 1926, sin lugar ni editorial. También ha sido reproducido en facsímil en REY PASTOR, 1988, pp. 464-535.

28. REY PASTOR, Julio, 1956 : Menéndez Pelayo y la ciencia española. En Homenaje a Don Marcelino Menéndez Pelayo. Publicaciones de la Universidad de Madrid, Madrid 1956. pp. 83-115.

29. REY PASTOR, Julio, 1988 : Selecta. Prólogo de Ángel MARTIN MUNICIO y comentarios de Sixto RIOS, Luis Antonio SANTALO y Ernesto GARCIA CAMARERO. Edición preparada por la Real Academia de Ciencias, Madrid, 1988.

30. REY PASTOR, J. y BABINI J. : Historia de la matemática. Buenos Aires, 1951.

31. RIOS, Sixto ; SANTALO, Luis A. ; BALANZAT, Manuel : Julio Rey Pastor matemático. Con un prólogo de Pedro LAIN ENTRALGO. Publicado por el Instituto de España, Madrid 1979.

32. SANTALO, Luis Antonio : Véase BABINI - GONZALEZ DOMINGUEZ SANTALO y RIOS - SANTALO - BALANZAT.

33. SIMON DIAZ, José : Historia del Colegio Imperial, tomo I (1952), tomo II (1959). Consejo Superior de Investigaciones Científicas, Madrid.

34. SOMMERVOGEL, Carlos. Bibliothéque de la Compagnie de Jesús. 10 volúmenes. Bruselas-París, 1890-1909.

35. VYVER, Omer van de : L’école de jésuites de la province flandro-belge au XVII siécle. Archivum Historicum Societatis Jesu, 49 (1980) 265-278.

36. ZARAGOZA, José, 1673 : Euclides novo-antiquus singulari methodo illustratus. Valentiae, 1673.

37. ZARAGOZA, José, 1678 : Euclides nuevo-antiguo. Geometría especulativa y práctica de los planos y sólidos. Madrid, 1678.