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Aritmetica | Algebra | Geometria

ARlTIMÉTICA.

Dejando á los críticos ociosos adivinar quales fueron las ciencias ante diluvianas de los conocimientos matemáticos de Hebóc, y de los ; hijos de Set, que no tienen el menor apoyo en la historia ; y pasando en silencio lo que con mas elocuencia que solidez ha querido persuadirnos el sabio Bailli del saber de un antiquísimo pueblo de la Atlántida ; no podemos dudar que la idea de los números, y él mecanismo de sus combinaciones ha debido comenzar con los hombres ; para cuyo trato, comercio y primeras necesidades eran indispensables.

No es tan fácil conjeturar los progresos, y la perfección que con el. uso y el tiempo pudo adquirir la Aritmética ; siendo cierto que los historiadores no hablan, de ella hasta pocos siglo,. antes de nuestra Era cristiana. Lo único que sabemos y admiramos en aquellos remotos tiempos, es que todos los Pueblos, a escepcion de los Chinos y una nacion de Tracia, de que habla Aristóteles, .se han convenido en adoptar el. sistema de contar de diez en diez que ha llegado hasta nosotros : al que, pudo dar origen el número diez de nuestros dedos, a donde es ovio y natural á todos el recurrir para evacuar sus cuentas.

Este ingenioso sistema de numeración, que hace la base de nuestra aritmética, ha sido familiar á los Arabes mucho tiempo antes de haber penetrado á nuestro suelo. Pero parece que el honor de su invención se debe a los Indianos, de quienes dice Alsephadi, autor árabe, que se gloriaban de la invención del modo de calcular y del juego del ajedrez lo que confirma Abei-Ragel, autor también árabe del siglo XIII. En esto mismo estriba la opinión de los que atribuyen a’ los Indianos el origen de, la aritmética, contra Platon y Aristágoras que le ponen en Egipto, y contra Estrabon, Porfirio y Procio que hacen este honor a los Fenicios, los primeros y mayores comerciantes del Universo. Sea de esto lo que se quiera, lo cierto es, que hasta Pitágoras,, que nació en el año 589 antes de Jesucristo, no se halla el menor indicio de que la aritmética se hubiese cultivado. Con efecto, este filósofo célebre de vuelta de Egipto, á donde había ido á instruirse, y huyendo de Samos su patria que encontró tiranizada, fundó en Italia la Escuela llamada Itálica, en que enseñó toda clase de conocimientos sin excluir la aritmética que, entre varias virtudes misteriosas que se dice atribuyó a los números y sus combinaciones, enriqueció con la tabla de multiplicación llamada pitagórica y muchas otras de sus primeras verdades.

A sus discípulos debió la aritmética muchos progresos ; pues en tiempo de Platón y Euclides, tres siglos antes de la Era cristiana se conocían ya además de las primeras malas, la extracción de las raíces cuadrada y cúbica, y aun las proporciones. Aristóteles en diferentes pasajes de sus obras hace frecuentes alusiones y llamadas á las doctrinas aritméticas, que dan á entender que eran bastantes conocidas y comunes entre los Griegos sus lectores.

Hasta 113 años antes de Jesucristo, en que floreció Arquímedes, no se conoce invención particular en la aritmética : pero este filósofo cultivó y acaso inventó la utilísima teoría de las progresiones, demostrando en su Psammite o de número arenae, entre otras cosas, que el termino quingentésimo de una progresión décupla de granos de arena, llenaría el hueco entonces conocido entre las estrellas fijas y la tierra.

A Eratóstenes se debe la primera invención de la aritmética instrumental, que fue un tablero o tabla de números impares con la, añadidura de divisores comunes y compuestos, para distinguir los números primeros y simples de los compuestos : operación ingeniosa y aun sublime para aquellos tiempos,que mereció ser en el- siglo pasado por Juan Fello, Arzobispo de Oxford, y mas recientemente, por el docto matemático Pell. A todos los referidos se aventajó Nicómaco llamado el aritmético por antonomasia, que se hizo por sus comentarios, ilustraciones, traducciones y compendios de cuanto se sabia entre los Griegos de .aritmética : y entre otras investigaciones curiosas sobre los números pares e impares, primeros y segundos, simples y compuestos, inventó los números polígonos, ó suma una progresiones que comienza con 1, y cuyas unidades forman diferentes figuras geométricas.

Aquí correspondía hablar de Diofanto, el Leibniz o Newton de los antiguos en esta materia ; pero como sus profundas investigaciones aritméticas dieron origen al Algebra, reservamos para la historia de esta ciencia el hablar del sobresaliente mérito de este filosofo, que se puede llamar el ultimo de los Griegos que ha dado luces a la aritmética, si se exceptúan algunos trozos de los Colecciones matemáticas de Pappo en que se refieren las doctrinas aritméticas de los antiguos.

No adelantaron mas los latinos, que no tuvieron mejor obra aritmética que la de Boecio, que es en parte compendio y en parte traducción de 1a de Nicómaco. Después de éste ninguno merece nombre de aritmético, síno el celebre Beda, que a principio del siglo VIII trató de los números y resolvió algunas dé sus cuestiones : de manera que pudo dar luz para conjeturar después de tantos siglos los conocimientos aritméticos de los antiguos. También explicó la Datilonomia o arte de contar por las situaciones é inflexiones de los dedos : ilustrado después por el Nebricense, Wover y otros modernos.

A los arabes, unicos depositarios de los conocimientos matematicos, mas que los Latinos, ha debido la aritmetica sus mayores progresos. Son infinitos sus escritos en esta materia. Thebit ben Corah que trato de los numeros poligonos, de los que se multiplican al infinito, y de la proporcion compuesta : Abi Abdalla Mamad llamado el aritmetico, Ben Barza el calculados son los mas celebres : y en sus obras aparece una suma destreza en el manejo de los números, un conocimiento fino de sus relaciones, diferentes doctrinas acerca de sus propiedades, y nuevos métodos para resolver problemas : entre ellos la regla de falsa posición simple y compuesta, que prueban su profundo saber en aritmética.

Nada merece mas el reconocimiento que les debemos, en esta parte, que el habernos comunicado las cifras numerales y el modo de usarlas. Los Hebreos, Egipcios, Griegos y demás naciones asiáticas, como también los Latinos representaban los números con las letras de su alfabeto : cuyo uso embarazoso en las operaciones aritméticas hacia á esta ciencia imperfectísima, y como balbuciente : pero las cifras, signos y figuras numéricas que debemos á los árabes, así como el método seguro de manejarlas facilita de manera las operaciones mas difíciles, que ha dado un nuevo ser y una nueva vida á esta ciencia. La época incierta en que, los árabes adquirieron este método de los Indianos, se puede probablemente colocar á principios del siglo VIII ; pues sabernos que Alkindi en el siglo IX escribió ya de la aritmética indiana, y en el siguiente dio Almogetahi un tratado mas difuso del arte de los números indianos, otro Alkarabisi del modo de contar de los indios como también que á principios del XI examinó el célebre Alhasan los principios del modo de contar de los Indios.

De los árabes tomaron los españoles el uso de aquellas cifras, y Burriel hablando de una traducción de Tolomeo del año de 1136, dice que es uno de los escritos más antiguos en que se descubren las notas arábigas : las cuales, añade, se usan en casi todas las obras matemáticas de aquella edad, pero no en los libros o instrumentos, ni un en las mismas cuentas, en que se continuaba el uso de los números castellanos que eran los romanos con muy poca variación.

En el siglo X aprendió en España Girberto, después Papa con el nombre de Silvestre II, la aritmética que comunicó á las Galias, según dice Malesburi en su historia de Inglaterra lib. 2 : y Gerardo Aurelio en sus cartas hace mención de un libro de multiplicación y división de los números que escribió el español Josef que él buscaba con ansia. Aun se conserva el libro del Abaco que publicó en 1102 él celebre, Leonardo Fíbonacci de Pisa, que cultivó con ardor la aritmética en Africa á donde su padre le había llevado empleado en una aduana. Este códice puede ser mirado corno obra magistral, y abraza también la aritmética algébrica. En el siglo XIII se distinguieron en aritmética Jordan Nemorario y Juan de Sacro Bosco, celebre también por su tratado de Esfera y á fines del XIV y principios del XV hicieron papel en esta parte griegos, modernos, espacialmente Manuel Moscópulo, que inventó la formación del Cuadrado mágico, compuesto de números dispuestos de manera que los de la columna diagonal y vertical hacen una misma suma. Tiene varios usos y propiedades que en diferentes épocas han cultivado y animado después de Meziriac, Stifell, Frenicle, Poígnard, la Híre, Sauveur, y otros. Al mismo tiempo florecían en Italia diferente aritméticos entre los que merece ser nombrado Luca Pacciol de Borgo de San Sepolcro, que escribió la primera obra,aritmética que se ha dado a la prensa con el titulo Suma de aritmética, geometría, proporciones y proporcionalidad : en la cual aprovechándose de los escritos anteriores, redujo a mejor método, y abrevió las cuestiones aritméticas, y dió mas a conover el algebra ; suministrando luces a los Tartaglias y Cardanos con que adelantaron tanto despues.

El cálculo de la partes decimales, del que se cree autor Juan Muller ó Regiomontano, natural de Konisberg en Franconia, adelantó los limites de la aritmetica y animó el ardor con que la cultuvaron Stifels, Pelletir, Maurolico, Vieta y muchos otros. Pero lo que extendió prodigiosamente su utilidad causando una feliz revolución en la Geometría, Trigonometría y Astronomía, fué la invención los logaritmos que á principios del siglo XVII hizo el Escocés Juan Népero, varón de Merchiston, mudando con ella la multiplicación en adición, la división en resta, la extracción de raíces y elevación a potencias en división y multiplicación : dando por este medio una suma facilidad á los cálculos mas difíciles y escabrosos. Brigio su docto discípulo y Profesor de matemáticas en Oxford, mejoró esté hallazgo publicando con el titulo de Mirifici logaritmorum caconis descriptio, en su Aritmética logarítmica impresa en 1624 : en donde se encuentran tablas de los logaritmos de los números naturales desde 1 hasta -20000, y desde 90000 hasta 101000 ; pero fallecio antes de haber acabado otra tabla de los logaritmos de los senos, de grados y centenas de grado del cuadrante, que concluyó Enrique Gelibrando en 1630 en su Trigonometría británica. Después publicaron sus tablas Keplero, Ursino, Adriano Ulak, &c. las de Gardiner se tienen por las mas correctas : lo son bastante. las de Sherwin, impresas en Londres en 8º en 1705 : y en 1795 acaba de publicarlas en París muy completas Francisco Callet en dos vol. 8º de marca.

También Neper nos dio en su Rabdelogia la descripción de una máquina que por medio de ciertas rayas y laminitas ingeniosamente combinadas presenta cualquiera multiplicación ó división sin trábajo de calculador ; que Roussain ofreció mejorada á la Academia de las Ciencias en 1770. De este genero de inventos se debe uno a Pascal, aunque mas difícil y complicado, de un uso mas universal ; otro mas sencillo a Leibniz presentado en 1673 á la Academia de Londres. En 1666 habia ya inventado otra máquina Moreland, y en este siglo l’Epine Boitissendeau y otros se ocuparon en este trabajo, que al cabo se ha abandonado corno de poca utilidad.

Pascal inventó después el Triángulo aritmético por el cual con un número que pone en su punta, se forman sucesivamente todos los números figurados, se determinan las razones 42 los de dos casillas cualesquiera, y las diferentes sumas de los números de una misma fila : al mismo tiempo que trabajaba Fermat en las propiedades de los números. figurados, que adelantaron después Eulero y la Grange : y Frenicle en los cuadrados mágicos, en los triángulos rectángulos numéricos, y abreviación de las combinaciones, desatando todo genero de problemas por medio de su método de las exclusiones que se imprimió después.

El aprecio que los Pitagóricos hacían del Tetractis o número cuatro, dió motivo a Wigel, Profesor de matemáticas en Ginebra á imaginar una aritmética cuaternaria usando solo de los números 1, 2, 3, 0 y contando con periodos de cuatro en lugar de nuestros períodos de diez que publicó en dos obras sobre la Tetractis pitagórica hacia el año de 1670 : en el cual sistema, que parece ser el de los Traces de que habla Aristóteles, cree encontrar mas ventajas que en el décuplo. Con este motivo trabajó Leibniz su Díadíca,ó aritmética binaria en que para mayor comodidad en los cálculos usa solo del 1 y cero : asegurando que es mas a propósito que la decimal para hacer progresos : por descontado este pensamiento que Leibniz comunicó al Padre Bouvet sirvió á este Misionero para explicar los antiquísimos caracteres chinos que no habían podido entender los mismos nacionales. Al tiempo que Leibniz ofrecía su invención en 1702 á la Academia de las Ciencias ; -pensó Lagni, Profesor de Hidografia en Rochefort, introduci la aritmética binaria para evitar algunos inconvenientes de los logaritmos ; pues con ella se reducen también a adición y sustracción, la división y multiplicación : y Dagincurt en una memoria sobre este asunto, hace ver que en el sistema binario se encuentran con suma facilidad las leyes de las progresiones. Pero sin embargo de estas ventajas, y de las que cree Leibniz se seguirían, de contar hasta doce, o hasta diez y seis ; se han tenido por de mayor consideración los inconvenientes que acarrearían estas novedades, y hasta ahora no ha habido quien vuelva á promover estas ideas. En esta época se ocupaban los Ingleses en las mas sublimes y útiles teorías. Wallís publicó su Aritmética de los infinitos en la que .sin reducen á suma exacta las mas largas e intrincadas series de números. La fracción ; continua de Brounker, cuyos excelentes usos han manifestado después Eulero y la Grange, las series infinitas que tanto han cultivado despues Mercator y Barrow con muchas otras utiles producciones, todos son frutos de la preciosa obra de Wallis. Después de la cual apareció la sublime Aritmética universal de Newton, que abraza ya en números, ya en cifras algébricas cuanto pertenece á cuentas y cálculo, y forma un cuerpo perfecto del arte de calcular.

Finalmente, á finas del siglo XVII se hicieron aplicaciones de la aritmética á diferentes asuntos que extendieron no poco su dominio. Pascal, Sauveur y Huingens la aplicaron á las combinaciones de los juegos de suerte : Leibniz á la Jurisprudencia y á la Moral : determinando la usura, ó el fruto del dinero que podría cobrarse en ciertas circunstancias. Petri redujo a calculo el numero de habitantes de una nación, las mercaderías que puede consumir, la labor que puede hacer, la cultura, el comercio, navegación y cuanto puede interesar al Gobierno : formando una aritmética política, que fué corno el ensayo del arte de conjeturar, que torno después aumento con los progresos del álgebra, de que vamos .á hablar : omitiendo los trabajos menudos de ilustres matemáticos . que no se han desdeñado de cultivar la aritmética, cuya enumeración harían exceder los límites estrechos que nos hemos propuesto en esta ligera historia de la aritmética.

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ALGEBRA.

El Álgebra, que de, método particular de la aritmética, ha llegado á ser ciencia principal que abraza la aritmética y geometría ; debió su origen al griego Diofante que en sus questiones aritméticas publicadas en el siglo IV, manejaba ya las ecuaciones de 1.er grado, y ofrecía la solución de las de 2º que debía de poseer. Se han perdido muchas obras de este Filósofo, lo mismo que el Comentario, que del álgebra hizo la tan sabia como desgraciada Hipacia, hija del filósofo Teon, muerta desastradamente en un tumulto del pueblo de Alejandría que la creía mágica, y cómplice en las desavenencias entre San Cirilo y el Gobernador Orestes. Los árabes cultivaron con ardor el álgebra, cuyo nombre aljavar ó almucabala que equivale á restitución, seguramente es arábigo. La primer obra algébrica que se debe á los árabes, la publicó en el principio del siglo VIII Moamah ben Musa contiene va la solución de las ecuaciones de 2º grado. A ella se siguieron las de Tliebit ben Corah, Omar ben Ibraim de quien cita Montucla un códice con el titulo de álgebra de las ecuaciones cúbicas, Ahmad Altajeb discípulo del sabio Alkindi, Ebn Albanna de Granada, Kosein, Jahia, Tejoddin, y otras muchos.

Se ignora quienes fueron los primeros que trajeron á nuestro país estos conocimientos : se cree que Leonardo de Pisa los tomó .de los árabes y que la obra citada de Lucas del Borgo publicada en 1494, fue la primera que apareció de álgebra que él- llama arte mayor, y se conoció también con el nombre de ciencia de la cosa y aunque en ella no se pasa de las ecuaciones de 2º grado, la aprovecharon tan bien los Italianos, que Scipion del Ferro Boloñes encontró muy luego la solución de uno de los casos de las ecuaciones del 3.er grado, que comunicó á su discípulo Antonio del Fiore. Viéndose este en términos de resolver problemas hasta entonces insolubles, desafió á Nicolas, natural de Brecia, conocido con el nombre de Tartaglia o tartamudo, de un golpe que recibió en la cabeza. Este aventurero dotado de un talento singular para las matemáticas, aceptó el desafío : y habiendo descubierto una regla general para resolver los problemas propuestos, confundió, á Fríore proponiéndole otros que no supo resolver.

Tartaglia cediendo á las instancias de Cardano le comunicó su invención después de haberle exigido el juramento de no revelarla : pero este faltó á su promesa y publicó el secreto en 1545 en su Arte magna dándose por autor del invento, y disculpándose con Tartaglia, á quien costó la vida esta infidelidad, con la perfección que había dado a su método. Con efecto, además de haberlo demostrado con una facilidad y elegancias que no hubiera podido darle su autor poco culto, le amplió y extendió a todos los casos, dando fórmulas que después han tomado su nombre, y descubriendo el primero el caso irreductible, cuya dificultad aun no se ha superado. Luis Ferrari discípulo de Cardano, encontró la solución de las ecuaciones de 4º grado que publicó e ilustró Rafael Bombelli en 1579 : y á quien atribuye Gua la gloria de haber manejado el primero las cantidades radícales, demostrando que el caso irreductible incluye una raíz real que consiguió encontrar en algunos casos.

Todas las naciones tuvieron á mediados del siglo XVI ilustres matemáticos que cultivaron y adelantaron a porfía los conocimientos algébrico. Además de los Alemanes Rudolphs, y Stifels, los franceses Pelletier y Buteon, el holandés Stevin recomendado y estimado aun posteriormente, florecía en España el célebre Nuñez, llamado Nonio, cuyos métodos seguidos entonces, se ven citados aun hoy por Bachet, Dechales, y otros escritores. Pero todos deben ceder al ilustre Magistrado Francisco Vieta, nacido en Fontenais en 1540 y muerto en 1603, cuyos trabajos hacen época en la historia del álgebra, y cuyo genio profundo abrió nuevos caminos seguidos después por matemáticos de primer orden. A él se debe una mas fácil y cómoda preparación de las ecuaciones, sus diferentes transformaciones y usos diversos que tienen, el modo de conocer la relación de los coeficientes y raíces de las ecuaciones comparadas entre sí por medio de los signos,. la formación de las ecuaciones por sus raíces simples positivas, su resolución numérica por aproximación, la construcción de las ecuaciones de 3º grado con el auxilio de dos medías proporcionales, la descomposición de las de 4º grado por las de 3º . . pero sobre todo se le debe el feliz pensamiento de representar con letras las cantidades conocidas y desconocidas, ahorrando el embarazo, que causaba la multitud de signos y números de que hasta entonces se había usado, y haciendo genérales las soluciones que antes eran por lo común de casos particulares.

Mejoró esta invención el ingles Harriot sustituyendo letras minúsculas a las mayúsculas de que uso Vieta, y simplificando el modo de expresar con ellas las multiplicaciones. El mismo empleó el primero las raíces negativas en las ecuaciones, ideando también el colocar todos los términos en un miembro y cero en el otro : y halló que las ecuaciones superiores se componen de las ecuaciones simples, con otros inventos que le hacen acreedor al reconocimiento público. Por este tiempo se distinguieron también Ougtred, Girard, Anderson y otros, que ilustraron con sus trabajos el álgebra.

La teoría de Diofante sobre las ecuaciones indeterminadas había comenzado a fomentarse en el siglo XIV por el griego Planudes, y después en el XVI Xilandro tradujo en latín los libros que habían quedado de Diofante, cuya doctrina comentaron y añadieron posteriormente Van Ceulen, Stevin, Bombelli, Vieta y algunos otros. Pero Bachet de Meziriac la puso á mejor luz, y añadió un método general para resolver en números enteros todas las ecuaciones de 1.er grado de dos o mas incógnitas : sin que ninguno hubiese adelantado mas hasta Fermat que encontró nuevos métodos que merecieron después la atención de Frenicle, Eulero, la Grange, Beguellin, Billi y, otros insignes matemáticos que han empleado sus doctas tareas en ilustrarlos y extenderlos. En 1629 había ya, salido á la luz pública La nueva invención en el álgebra del holandés Alberto Girard, en la que, además de finas observaciones sobre las raíces negativas de las ecuaciones de 3.er grado, se apuntaban en confuso algunos otros descubrimientos que estaba reservado á Descartes el aclararlos y perfeccionarlos Este genio creador en todo genero, nació en 1596, y apenas dió su atención á las matemáticas, cuando se ocupó en desenvolver la expresión de los polinomios, y el cálculo de lo,. signos y exponentes de las potencias : fué el primero también que hizo de las raíces negativas el uso debido, explicó su naturaleza, y manifestó sus ventajas, que no habían alcanzado Harriot y Girard : determinó por medio de los signos el número de raíces positivas y negativas de una ecuación cuando no hay imaginarias, y los limites de las que no pueden encontrarse exactas. La analisis cartesiana o método de las indeterminadas para las equaciones, de 4º grado acredita bastante el mérito de este grande hombre ; pero el álgebra cartesiana, aplicada al análisis de las cantidades finitas supera todos sus inventos, y hace ver cuan superior fue a todos los que le precedieron.

El ya citado Thebit ben Chorah, Leonardo de Pisa, Regiomontano y Tartaglia habían hecho ya algunas aplicaciones del cálculo á la geometría ; pero dando a las líneas valores numéricos. Vieta aunque se valió de las letras para este objeto, se puede decir que sus construcciones geométricas no eran mas que un ligero ensayo con que resolvía problemas que sin este auxilio se desataban cota facilidad : mas Cartesio redujo a arte esta aplicación, formó por si el método, dio las reglas, y por el pequeño artificio de esta aplicación á las líneas rectas. se elevó á las difíciles teorías de las líneas curvas, haciendo de La geometría, antes una ciencia mezquina y práctica, una ciencia sublime y utilísima. Una y otra, la geometría y el álgebra mudaron de semblante con esta aplicación cuya invención ha merecido a su autor el glorioso nombre de conquistador de las matemáticas, que desde esta época han recibido prodigiosos adelantamientos en todos sus ramos. Entre los que añadieron é ilustraron la invención de Cartesio, se han, distinguido Beaune, autor del método sobre los límites, de las. ecuaciones, que adoptó y mejoró después Newton : Hudde, á quien se debe la reducción de las ecuaciones, y el tri@"tódo’ de los máximos mínimos : Schooten, Sluse, Craig, Witt, Rabuel y Jacobo Bernoulli Wallis por su álgebra y mucho mas por su excelente aritmética de los infinitos, Brounker por su fracción continua, Barrow, y Mercator merecen ser nombrados entre los insignes bienhechores del álgebra en el siglo XVIII : pues la adelantaron en términos que al parecer, nada quedaba que descubrir en materia de cálculo.

En estas circunstancias se presentó el inmortal Newton, príncipe de todos los matemáticos : sus elegantes reglas de los divisores racionales de las ecuaciones, de los limites de sus raíces, los excelentes métodos de aproximarlas cuanto se quiera, de aplicar las fracciones al cálculo de los exponentes, y de reducir las cantidades fraccionarias a series infinitas : su famosa teorema del binomio que lleva su nombre, y la aplicación de estos inventos á la cuadratura y rectificación de las curvas, y á la solución de los problemas geométricos mas arduos y difíciles con otros mil hallazgos en todas las partes de las matemáticas y de la física, expuestos en su Análisis de las ecuaciones infinitas, y en su en su Aritmética universal y otros escritos, breves, pero profundos y completos ; le darían sin disputa la palma sobre cuantos han cultivado estas materias. Y sin embargo, todos ellos como que desaparecen comparados con su luminoso descubrimiento del. cálculo infinitesimal, de que hablaremos después, y prueba lo elevado y sublime de su alma sobre la de los otros mortales.

La naturaleza á veces hace ostension de su fecundidad, y en esta edad feliz para las ciencias, al lado de Newton que honraba la Inglaterra, produjo a su digno émulo Leibniz gloria de la Alemania. Casi tan profundo como Newton, era mas universal en sus conocimientos. Filósofo, jurisperito, teólogo, anticuario, historiador, filólogo y matemático, no hubo ciencia que no ilustrase con sus meditaciones y trabajos, y en especial el álgebra. Sin hablar de su nuevo género de ecuaciones exponenciales, y de un método general para encontrar las raíces de todas las ecuaciones : sin hablar de su ingenioso método para el caso irreductible, de sus sutiles especulaciones sobre los logaritmos de las cantidades negativas, ni de otros muchos inventos dignos del aprecio de los matemáticos ; basta para inmortalizar su nombre la invención del cálculo infinitesimal por diferente camino que Newton con quien lo puso á nivel.

Hasta entonces no se habían considerado sino las relaciones finitas de las curvas ; y estos dos grandes ingenios se elevaron á la investigación de las razones de las infinitésimas ó elementos de que se componen. Newton y Leibniz examinaron las relaciones entre las variaciones instantáneas o insensibles incrementos ó decrementos de las líneas variables, por las que se conocen las propiedades de las curvas, y las sujetaron al cálculo algébrico. Leibniz dió á estos incrementos y decrementos el nombre de diferencias infinitas, las considera como infinitésimas de las cantidades finitas que se pueden omitir en su cálculo sin peligro de error : admite diferentes órdenes de infinitésimas despreciando también las de orden inferior en concurrencia de las superiores. Y Newton, sin la idea de partes infinitas, considera las cantidades matemáticas como engendradas por el movimiento : llama fluxiones las velocidades variables con que son producidas, busca sus relaciones, y forma de ellas diferentes órdenes. Este método, el mismo que el de los infinitésimos, se apoya en principios exactos y no necesita de la ficción hipotética de las partes infinitésimas. Las diferencias del uno son las fluxiones del otro ; y ambos conducen sin peligro de error á un mismo resultado : á la manera, como dice Maclaurin, de des que para sacar exacta una cuenta el uno omite ciertos artículos como de ninguna importancia, y el otro los deja por no pertenecer á aquella cuenta. El cálculo infinitesimal comprende el diferencial que desciende del finito al infinitésimo, y el integral que asciende del infinitésimo al finito : el uno descompone las cantidades, y el otro las restablece : así como el cálculo de las fluxiones abraza el método directo que es el diferencial, y el inverso que equivale al integral.

El nuevo cálculo excitó diferentes disputas. Los ingleses acusaron á Leibniz de plagio, atribuyendo á su Newton todo el honor de la invención ; pero Leibniz tuvo ardientes defensores que consiguieron se le hiciese justicia. Con efecto, él le publicó primero en la Actas de Leibsik, le adoptaron desde luego los Bernoullis y después toda la Europa ; de suerte que hoy se tiene por casi averiguado que uno y otro le inventaron sin habérsele comunicado.

Después se ha disputado vivamente sobre la exactitud de los principios en que apoya Leibniz su invención. El célebre algebristas Rolle desechando las cantidades infinitésimas, acusaba su cálculo de que inducía á error por, faltarle la exactitud geométrica ; y Niewentíz aunque admitía las infinitésimas, impugnaba las de orden inferior : pero Leibniz, Bernoullí y Erman desvanecieron estos escrúpulos, haciendo ver cuan conformes eran los resultados de estas suposiciones a los que daba la mas rigurosa geometría. A principios del siglo se renovaron estas disputas entre la Academia de París y la Real Sociedad de Londres : y el mismo Secretario de la Academia, el elegante e ingenioso Fontenelle no contribuyó poco a disiparlas. Después el sabio Maclaurin ha puesto en claro toda la metafísica del cálculo infinitesimal : sin embargo de que Cousin aun se queja de que se haya introducido en álgebra, y geometría la nueva idea del movimiento con las fluxiones de Newton, y ha procurado, lo mismo que Alembert evitar este escrúpulo, usando sí de las palabras infinito, infinitésimo, pero fijando á ellas la idea de límites de las cantidades.

Los dos ilustres hermanos Juan y Jacobo Bernoulli comenzaron desde luego á hacer un uso frecuente del nuevo calculo en la resolución de los problemas mas arduos. Jacobo dio de él dos ensayos en las Actas de Leipsik, y Juan lo enriqueció con su nuevo calculo exponencial, y escribió lecciones del diferencial e integral, de donde las han aprendido su acérrimo defensor y promovedor Varignon, el sabio Marques de l’Hospital y casi todos los demas algebristas célebres. Eulero, los Riccatis, d’Alembert, la Grange y otros han enriquecido el método leibniciano con nuevos ramos y preciosos descubrimientos. En nuestros días uno de los descendientes de los Bernoulli, y después dé él Caluso, con mas empeño y extensión de Conocimientos han querido introducir el cálculo newtoniano como mas exacto y filosófico que el leibniciano, haciéndolo mas fácil y breve, y acomodando á él todos los nuevos descubrimientos : pero hasta al presente aun está por decidir de que parte estan las ventajas.

La teoría de las series á la que en cierto modo debió su origen el cálculo infinitesimal, tomó nuevos grados de esplendor con los trabajos que sobre ella hicieron todos los analistas del siglo XVIII ; y con ellos se adelantó igualmente el cálculo de las probabilidades : en que sobre los inventos de Pascal, Huingens, Leibniz y Petty, se dedicó Montmort a tratar á fondo del análisis de los juegos de banda, tresillo, tritac.., y le siguieron los Bernoullis, Moivre que publicó una obra original y clásica sobre los juegos de suerte. Simpson, Deparcieux, Eulero, Alembert, la Grange, la Place, Condorcet, Fontana, Lorgna &c. todos los cuales trabajaron en inventar nuevos métodos, diferentes formulas para sujetar a cálculo la fortuna y el azar. Seria obra muy larga y ajena de nuestro plan, tejer el elogio de ilustres matemáticos que en el siglo XVIII trabajaron á porfía en perfeccionar el álgebra. Bástenos insinuar que la Inglaterra se gloria de los Alejo, Tailor, Cotes, Sterling, Campbell, Maclaurin, que publicaron en las Transacciones filosóficas de la Real Sociedad de Londres nuevos inventos y finas especulaciones analíticas : del célebre ciego Saunderson y del profundo Simpson, cuyas obras ilustran la Europa, y son al mismo tiempo un testimonio clásico del ardor con que aquella nación ha promovido tan útiles estudios. La Francia cuenta á Varignon, Rolle autor del método de las Cascadas, a Lagni, Prestet, Reigneau que hicieron señalados servicios al mundo literario. La Alemania á Goldbach, Mayer, Erman, Cramer y Wolfio : y la Italia á Jacobo Ricati, Fagnani, Gabriel Manfredi y Grandi acreedores todos por sus trabajos analíticos al reconocimiento de la posteridad.

Vemos pues, en la última mitad del siglo XVIII llevada el álgebra á un grado sumo de perfección, y hecha el mas apto como el mas útil instrumento para adelantar todas las demás ciencias por Nicolás y Daniel Bernoulli, émulos de su padre Juan y de su tío Jacobo por Nicole, por el insigne Clairaut, por el ilustre Eulero, ingenio tan original como vasto en todas las ciencias exactas que ha enriquecido con sus excelentes é inmensas obras, que se pueden considerar como el cuerpo dé doctrina mas completo que tenemos en este género : por el célebre Alembert, inventor del cálculo de las diferencias parciales, del método de los coeficientes indeterminados, reducción de las cantidades imaginarías a expresiones mas sencillas, y cálculo de las funciones racionales é irracionales : por Vicente Riccati, que se puede llamar el verdadero padre del álgebra sublime en Italia por su Tratado de las series y sus Instituciones analíticas : por los insignes la Grange, autor del Calculo de las variaciones y de un nuevo método para las series recurrentes y, la Place, dignos émulos de los Euleros y Alemberts : sin que deban omitirse los Condorcets, Cousins, Bossuts que honran la Francia, y los Fontanas, Lorgnas y otros muchos talentos que se distinguen en Italia y Alemania

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G E O M E T R í A.

Aunque se ignora en donde tuvo origen ésta ciencia, es bastante verosímil que fuese en Egipto, en donde se hacían tantos diques, canales, y famosas fábricas que exigían conocimientos geométricos : y si creernos á Heródoto, su invención se debe á Lot o Osiris con el motivo de la división de tierras que el rei Sesostris le mandó hacer entre sus vasallos. Pero los pocos progresos que bajo su enseñanza hicieran los Griegos, son una prueba decisiva de las escasez de luces de los Egipcios en este particular. Con efecto, el rei Amasis se admira de ver á Tales medir la altura .de una pirámide por medio de la sombra de su bastón : y su invención de formar el triángulo rectángulo en el semicírculo, y la propiedad que encontró Pitágoras de la hipotenusa del triángulo rectángulo, les llenó do gozo ; y les movió, como dice Laercio, a decretar sacrificios á las Musas. En la Escuela que fundó Tales en la Jonia se distinguió entre sus discípulos Anaximandro ; mientras que Pitágoras y los de la suya en Italia, hacían sus delicias en echar los primeros fundamentos dé la geometría, sin cuyos conocimientos eran excluidos de ella. Laercio hace á Demócrito autor de varias obras geométricas en que trata del contacto del circulo, de la esfera, de las líneas irracionales, y de otros muchos puntos que prueban los progresos que entonces se hacían en esta materia.

Es casi imposible en tanta obscuridad de noticias seguir la historia de lo que hicieron Arquitas, Euclídes Póntico, Hipocrátes Chío, Filolao, Platon y tantos otros antiguos matemáticos. A este último se atribuye la invencion del método analítico o de resolucion : y se puede decir que atendidas las sublimes especulaciones en que se ocupaban los geómetras de aquellos siglos, se habían descubierto ya en ellos casi todas las proposiciones que hacen hoy los elementos de esta ciencia. Efectivamente, Plutarco nos dice que Anaxágoras trabajaba en la cárcel en la cuadratura del circulo, problema que ha ocupado á los geómetras hasta nuestros días, y cuyo empeño por encontrarla, ha producido notables adelantamientos : y Aristóteles cita tres diferentes cuadraturas encontradas por Hipócrates Chio, Brison y Antifonte. El primero halló con este motivo la cuadratura de la lúnula que tomó su nombre, y Dinostrates inventó para el mismo objeto la cuadratriz que se llama de Dinostrates. La duplicación del cubo ocupó muy luego á aquellos geómetras : y el citado Hipócrates fue el primero que conoció que para resolverlo, era menester encontrar dos medias proporcionales entre el lado del cubo y su duplo. Platón formó un instrumento con que lo resolvió mecánicamente. Eudoxio inventó ciertas curvas para resolverlo : pero hasta Arquitas Tarentino no se desato con exactitud, si hemos de creer á Laercio y á Platón. Sin embargo á Eudoxio, y á su discípulo Menecmo se atribuye la invención de las Secciones cónicas, y en su tiempo se tenían ya las primeras nociones de los Lugares geométricos con cuya invención se honraron después Descartes y Sluse. Ello es que por entonces se escribieron los cinco libros de lugares sólidos de Aristeo, donde tomó Euclides alejandrino la doctrina de sus libros de los Cónicos. También se pueda ver en Papo los medios ingeniosos que se habían inventado para resolver el problema de la trisección del ángulo, valiéndose de la hipérbola y de la concoide : lo que prueba que los antiguos tuvieran en estas materias mas conocimientos de lo que comúnmente se cree. Y asi no es extraño que Teofrasto y después con mas estension Eudemo escribiesen una historia de la geometría : tan extensos eran ya sus progresos.

Faltaba sin embargo la disposición metódica de estos descubrimientos : y esto es lo que suplió casi tres siglos antes de Jesucristo el esclarecido Euclides, quien además de sus Porismos que recomienda Pappo ; ordenó y encadenó maravillosamente todas las verdades geométricas averiguadas hasta su tiempo inventando también otras que forman el libro 5º de los trece de que constan sus Elementos : sin incluir el 14º y 15º que son de Hipsiclo, ni los dos restantes que en 1593 añadió M. Candalle que tratan de los cuerpos regulares. Esta obra que ha sido la piedra angular de la geometría, ha tenido innumerables comentadores, Téon Alejandrino, Proclo, muchos de los árabes, y después ha sido traducida y comentada en nuestros tiempos por los mas ilustres geómetras.

Mientras que, además de Euclides, cultivan la geometría muchos de los discípulos de la Escuela alejandrina, entre ellos Eratóstenes, talento universal que trabajó con utilidad sobre el análisis y la duplicación del cubo ; florecía en Siracusa Arquímedes, que fué el prodigio de su siglo. El encontró la razón del diámetro á la circunferencia del círculo que ninguno hasta él se había atrevido á tratar, inscribiendo y circunscribiendo polígonos al circulo : dando las primeras ideas que al cabo han producido la sublime invención del cálculo infinitesimal : midió la esfera y el cilindro, las concoides y esferoides, cuadró la parábola y encontró las propiedades de la Espiral, curva inventada por su amigo Conon de Samos, con otros muchos ingeniosos y útiles inventos, en que resplandece no menos su profundo talento y sagacidad, que una escrupulosa exactitud y severidad en sus demostraciones. Este hombre insigne fué muerto por un soldado romano en la toma de Siracusa por Marcelo 212 años antes de Jesucristo.

Apolonio, natural de Pérgamo en Panfilia, fue en la Geometría sublime lo que Arquímedes había sido en la elemental. Sin hablar de diferentes obras suyas de que Pappo nos ha conservado extractos, la de los Cónicos hará inmortal su nombre : pues se puede decir que cuanto se ha escrito después de secciones cónicas, se encuentra en el geómetra griego : y pasma ver ya en su 6º y 7º libro entre otras invenciones y miras profundas, informaciones sobre los máximos y mínimos y sobre las evolutas. Pappo, Hipacia, Eustocio.... comentaron esta obra que ha servido de elementos a la geometría compuesta. Regiomontano nos comunicó sus cuatro primeros libros en 1537, y los cuatro restantes no parecieron hasta que en 1661 los publicó con notas el ilustre Borelli. Hallei los dio á luz mas completos en 1710.

Después de estos dos, insignes geómetras floreció Nicomédes, inventor de la concoide, curva de que se valió para duplicar el cubo, y de la que Newton usó después en varias de sus especulaciones geométricas ; florecieron Gémino, Filon, Eron, Teodosio autor de los Esféricos, obra recomendable en geometría y astronomía ; Menelao, que escribió de los triángulos esféricos, Diocles que inventó la cisoide, que perfeccionó Newton y finalmente Pappo que hacia el siglo IV de nuestra Era recogió y puso á buena luz los descubrimientos de los griegos que le habían precedido : después del cual podemos decir que se extinguió la casta de los geómetra, y en mucho tiempo no se volvió á hablar de Geometria.

Los Romanos dieron a esta ciencia poquísima atención, y hasta los árabes casi no se encuentran quienes la cultivasen. Pero estos, no solo la conservaron traduciendo y comentando los escritos griegos ; sino que la adelantaron considerablemente, aunque no sea sino por su invención del uso de los senos en lugar de las cuerdas, por el que se consiguió una sencillez y comodidad en las operaciones trigonométricas. Los que entre ellos adquirieron mayor fama de geometras son Hassen, Abu Giafar, Tabit-ben Corah, Alkindt, Moamad, hijo de Musa, Giaber ben Aphlah, del que hay en el Escorial un libro de las Esferas, Abdelaziz, Massudo y otros muchos.

De los árabes aprendieron la geometría Geberto, Campano y Abelardo, restauradores de esta ciencia en occidente ; pero fueron muy lentos sus progresos como lo muestran las obras rústicas y mezquinas de Jordan Nemorario y Juan de Sacrobosco publicadas hacia la mitad del siglo XIII. Y se puede decir que Purbac y su discípulo Regiomontano fueron en el siglo XV los primero que la comenzaron á adelantar. El primero trabajó sobre la geometría practica, e inventó el cuadrado geométrico para medir distancias : y el segundo perfeccionó el uso de los cálculos trigonométricos, introduciendo en ellos las tangentes, y formando tabla de ellas.

Desde entonces comentaron á estenderse las luces, y adquirió nuevas riquezas la geometría. Se vió en Italia á Tartaglia, a Federico Comandino que tradujo muchas obras de los antiguos, y se ocupó en los centros de gravedad : á Maurolico, versado en la geometría trascendente, que consideró las secciones cónicas en el sólido, y halló muchas de sus propiedades, entre ellas las de las tangentes y asíntotas de la hipérbola. En Francia se vio á Pelletier que disputó con el P. Clavio sobre el ángulo del contacto en el círculo : á M. Candalle Arzobispo de Burdeos, y á Vieta, que superior a todos, construyó nuevas tablas de senos por medio de fórmulas analíticas, determinando la razón de los arcos multiplices ; y generalizó mas la aplicación del álgebra á la geometría, enseñando á construir ecuaciones hasta de 3.er grado, á las que redujo la duplicación del cubo y trisección del ángulo. Se vio en Portugal á Pedro Nuñez que halló un ingeniosísimo modo de subdividir las partes de cualquier instrumento que algunos quieren atribuir a Pedro Vernier, resolvió, el problema difícil de hallar el menor, crepúsculo, y trabajó sobre la Loxodromia, curva que traza un navio siguiendo el rumbo que corta todos los meridianos bajo un mismo ángulo. Se vió en el Pais bajo á Mecio, Adriano Romano, Luis Vanceulen, que todos cultivaron la cuadratura del circulo, que encontraron muy próxima : en Alemania á Werner que escribió sobra el análisis antiguo, á Birge inventor de la plancheta, á Gemma Frisio la pantómetra instrumentos de geometría practica : a Clavio, ilustre por sus obras matemáticas, y á muchos otros que se esmeraban a porfía en el cultivo de la geometría.

Esta fermentación produjo los mejores efectos. Lucas Valerio había publicado ya su sabio libro de centro gravitatis solidorum, en donde además de un nuevo modo de cuadrar la parábola, determina el centro de gravedad de los concoides y esferoides : y el holandes Snelio habia aplicado su Ciclométrico á averiguar la relación del diámetro a la circunferencia ; cuando comenzó a amanecer una nueva aurora a la geometría, que la hizo mudar de semblante.

Keplero Catedrático de matemáticas en Rostoc, aunque dedicado á la astronomía, honró la geometría con su Stereometría doliorum, prenunciando ya el método de los infinitos. En ella considerando el círculo compuesto de infinitos triángulos, al cono de Infinitas pirámides.... consigue resolver muchos problemas de los antiguos con suma facilidad, y desata otros nuevos ; formando diferentes sólidos con la rotación de las secciones cónicas al rededor de cualquier línea. Al año siguiente de la muerte de Keplero verificada en 1631, publicó el P. la Faille su tratado de centro gravitatis partium circuli, et elipsis, que mejoró el P. Guldin compendiándola y formando una teoría mas general sobre el centro de gravedad de las figuras planas, líneas curvas y sólidos, y desatando problemas que Keplero dejó por resolver.

Ya en 1629 había inventado el milanés Buenaventura Cavalieri una geometría que apareció con el título de los indivisibles. Llama así á los elementos o partes de que considera formados los cuerpos : imaginando al sólido dividido en infinitas superficies, la superficie en infinitas líneas.... proporcionando por este medio la solución de nuevos problemas hasta entonces ignorada, y facilitando la de otros resueltos antes por medios mas difíciles y complicados. Valieronle estos descubrimientos una cátedra en Bolonia sin mas examen : en cuyo destino tuvo ocasión de aumentarlos. Galileo, Viviani y muchos otros abrazaron este método que amplió y defendió de sus contrarios Esteban de los Angeles. Pero quien le aprovechó mas fue Torricelli aplicándole á nuevos problemas, encontrando una nueva cuadratura de la parábola, la medida del solido hiperbólico, y lo que le mas célebre, la dimensión de la cicloide.

Roverbal se quejó de que se le hubiese arrebatado la gloria de esta invención, que parece poseía ya, y que había conseguido por un método semejante al de los indivisibles ; pero que había tenido oculto. Sus injustas quejas no disminuyeron en nada el mérito que le granjearon sus trabajos geométricos. Además del referido método, el de las tangentes llamado de los movimientos compuestos, y el que encontró para determinar los centros de oscilación mas exacto que el de Cartesio ; inventó ciertas curvas con que cuadró las parábolas, y otros diferentes espacios infinitos.

Pero ni él, ni sus predecesores pueden compararse con el ilustre Cartesio y su contemporáneo Fermat. Mientras que se distinguían en Italia Borelli ilustrador de los antiguos geometras, y Viviani célebre por sus doctas Divínaciones sobre los lugares sólidos de Arísteo y, el 5º libro de los Cónicos de Apolonio ; descollaba entre todos Cartesio inmortalizando su nombre con la aplicación del calculo á la geometría. Los rasgos y propiedades de las curvas expresadas clara y elegantemente en una ecuación, nuevos metodos para resolver los problemas planos, adelantamientos notables en la doctrina de los antiguos sobre los lugares geométricos, formula general para las ecuaciones de las secciones cónicas en cualquiera posición que se consideren, invención de nuevas curvas llamada óvalos de Cartesio, elevación al grado de geométricas dé otras curvas que pasaban por mecánicas, método general para determinar las tangentes aplicable a las cuestiones mas arduas ; todos estos y otros muchos preciosos hallazgos fueron en manos de Cartesio los frutos de su feliz invención, que han merecido el justo titulo de uno de los mayores geómetras del mundo. Las impugnaciones que de algunos de estos métodos hizo Fermat, le hicieron bien poco favor ; sin embargo de que sus descubrimientos sobre los máximos y mínimos, tangentes de las curvas, construcción de los Lugares sólidos, medida de muchas curvas, que redujo ingeniosamente al círculo é hipérbola, con otras invenciones le merecieron un lugar distinguido al lado de Cartesio.

Los discípulos, de este grande hombre hicieron progresos notables con el nuevo método que tuvo famosos comentadores, que se pueden ver en la Geometría de Cartesio, eje publicó Schooten en 1695, quien también enseñó a tratar las secciones cónicas por un movimiento continuo. Beaune, Hudde, Wit y señaladamente Rabuel se dístinguieron en este particular. Hudde, Sluse, Huínghens hicieron mas fáciles y expeditos los métodos de las tangentes, y de los máximos y mínimos, y Craig inventó nuevas fórmulas para la construcción de los Lugares geométricos, quitándolas el embarazo que tenían de Cartesio.

El flamenco Gregorio de San Vicente se ha ocupado por espacio de 25 años en la averiguación de la cuadratura del círculo : y aunque se alucinó creyendo haberla encontrado, hizo con este motivo importantes servicios a la geometría. Halló la conformidad de la espiral con la parábola, que es una espiral desenvuelta, con muchas de sus propiedades ; las de la cuadratriz, de que compuso un tomo que se quemó en la toma de Praga por los Saxones : comparó la hipérbola con la parábola, la uña cilíndrica con la esfera, y sobre todo encontró que los espacios de la hipérbola entre las asíntotas crecen aritméticamente, creciendo las abscisas geométricamente : además de nuevos métodos para cuadrar la parábola e hipérbola, y medir nuevos cuerpos no medidos hasta entonces, con otros muchos descubrimientos.

El holandés Huinghens impugnó la cuadratura de Gregorio, y se le deben, entre otras cosas, las razones próximas del círculo, la dimensión de las superficies curvas de los conoides y esferoides, un método para reducir a cuadratura la rectificación de las curvas, la medida de la cisoide, la anatomía que hizo, de la logarítmica, varios inventos acerca de las tangentes, áreas, sólidos, centros de gravedad, y una teoría sobre las evolutas.

La Inglaterra competía en esta materia con las demás naciones. El profundo Wallis con su aritmética de los infinitos se puso en estado de medir figuras á que no habían llegado otros geómetras, y sujetar á exactitud geométrica muchos objetos que habían resistido hasta entonces á sus esfuerzos. Resolvió fácilmente los problemas sobre la cicloide que con tanto énfasis proponía en Francia Pascal. Mercator sacó de los mismos principios logaritmotecnia con que cuadraba la hipérbola y sacaba la construcción de los logaritmos : y sus ingeniosas operaciones para la cuadratura del círculo produjeron el método de las interpolaciones usadas con frecuencia en la geometría, y dieron origen á la fracción continua de Brounker, y á su serie infinita para expresar el área de las hipérbolas : y á ellos se debe el binomio newtoniano, y en alguna manera el principio del hallazgo del cálculo infinitesimal. Barrow esparcía también en sus Lecciones profundas publicadas en 1666 útiles descubrimientos sobre la dimensión y propiedades de las curvas, daba un método sobre las tangentes que abría el camino para llegar al cálculo diferencial ; al mismo tiempo que el famoso Gregory descubría teoremas ingeniosos para rectificar curvas, trasformar y cuadrar figuras curvilíneas, y demostraba la imposibilidad de cuadrar el círculo, impugnada por Huingens, buscaba su mas inmediata aproximación y sus propiedades análogas con la hiperbola, expresaba el área del círculo con una serie infinita, y la cuadratura de la parábola de Mercator por un método nuevo.

Parece que la geometría no podía llegar a mas alto grado de perfección atendidos los portentosos progresos que en todos sus ramos habían hechos tantos talentos ; pero el sublime de Newton halló aun mucho que adelantar a todos sus precesores a quienes superaba en invención, exactitud en demostrar y superior destreza en calcular. Desde luego sacó de la doctrina de Nicomédes sobre la concoide el método de formar las ecuaciones de 3º y 4º grado, perfeccionó el modo de describir la cicloide, y resolvió un problema de Apolonio con una elegancia tan superior a la de Cartesio que le acreditó sin disputa, maestro y dueño de la antigua geometría. Antes que Mercator publicase su serie infinita para cuadrar la parábola, poseía ya un método que se extendía a cuadrar todas las curvas tanto mecánicas como geométricas, á su rectificación, á los centros de gravedad, á los sólidos de revolución, y á sus superficies.

Pero lo que le abrió los senos mas ocultos de la geometría, y le allanó los mas dificultosos problemas fué su Cálculo de las fluxiones. Con él obtuvo el pleno dominio sobre todos los registros de la mas fina geometría que necesitaba para levantar la gran máquina del sistema del universo, que estableció en su inmortal obra de Los principios matemáticos. Rectificar curvas, medir áreas, determinar tangentes, encontrar los máximos y mínimos, fijar los punto de inflexión, manejar libremente todas las líneas y figuras de que se sirve la naturaleza, combinar sus diferentes fuerzas según todas sus direcciones ; todo se hizo fácil á Newton con el auxilio de dicho Cálculo.

Ya dijimos que Leibniz había hecho, aunque por diferente camino, el mismo descubrimiento que Newton ; pero no sacó de él todo el fruto de que era capaz : y aunque con su auxilio resolvió cuantos problemas se le propusieron, ocupado en mil otros objetos, se complacía en esparcir la semilla dejando a otros el coger los frutos.

Entretanto hacia prodigios el nuevo Cálculo en manos de los Bernoullis, Hospital, Varignon y muchos otros. Jacobo rectificaba y cuadraba la espiral logarítmica y la loxodrómica, desenvolvía todas las propiedades de la espiral, de las curvas que la producen y que son producidas por ella, establecía su profunda teoría de las curvas que giran al rededor de si mismas con otros mil inventos. Juan se engolfaba en las abstrusas especulaciones de los isoperímetros, del solido de la mayor resistencia, de las trayectorias, de los centros de oscilación. Varignon averiguaba las leyes del movimiento compuesto, de las fuerzas centrales que suponen la geometría mas fina y recóndita : Tschirnausen cultivaba las famosas cáusticas que corrigió la Hire : Lagni creaba una ciencia nueva en su Goniometría de donde deducía una trigonometría mas sencilla y cómoda que la común, y adelantaba la ciclometría, llevando la cuadratura del círculo á una asombrosa exactitud. Tailor, Maclaurin y Simpson ilustraban y perfeccionaban la teoría de las curvas con la delicadeza de sus cálculos y operaciones geométricas.

De la Escuela del ilustre Juan Bernoulli salieron sus tres hijos Nicolás, Daniel y Juan, salió Herman, Maupertius, Clairaut, Eulero ; y aun Alembert confiesa deber toda su ciencia a sus profundas y luminosas producciones : y desde entonces comenzó la geometría a subir al alto punto de perfección á que en el día se ve elevada.

El examen de las oscilaciones del péndulo, de la figura de la tierra, y la discusión del problema de los tres cuerpos condujeron á Clairaut a determinar nuevas curvas, y á descubrir nuevas verdades geométricas. La Hidrodinámica de Daniel Bernoulli, su ingeniosa demostración del principio de la composición de las fuerzas con otras muchas producciones, le hicieron internar en las mas finas especulaciones geométricas y analíticas, y fraguarse nuevos métodos desconocidos hasta entonces. No se deben menores descubrimientos a Alembert, la Grange,... y sobre todos á Eulero. Todas las ciencias matemáticas han tomado en manos de este grande hombre nuevo aspecto. Se le ve esparcir nuevas luces sobre la rectificación de las secciones cónicas, cuadratura de las curvas superiores, de las superficies de los conos oblicuos : enriquecer la ingeniosa invención de Fagnani que determinó los arcos de elipse é hipérbola de una diferencia igual a una cantidad dada : extender y perfeccionar los métodos que Juan Bernoulli, Nicole y Maupertius habían propuesto para encontrar curvas rectificables bajo de la superficie de la esfera. El cálculo de las diferencias finitas apenas indicado por Tailor y Nicole, y el de las diferencias parciales que inventó Alembert, deben a Eulero su perfección, y la utilísima aplicación que de ellos se ha hecho después á los puntos mas sutiles de la geometría. El extendió la teoría de los isoperímetros, inventó el cálculo de los senos y cosenos, la teoría general de las superficies curvas, y la de los radios osculadores. Finalmente, ha perfeccionado los métodos sobre las trayectorias, el sólido de la menor resistencia, y se puede decir que no hay asunto en geometría que no le haya debido alguna perfección.

Boscowik, la Grange, Alembert, Condorcet, la Place y otros muchos ilustres matemáticos han contribuido por su parte, y muchos se ocupan hoy en perfeccionar mas tantos ramos inventados ya, cuyo conjunto hace de la geometría una de las ciencias mas vastas y mas útiles ente todas las naturales.

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